問題
長さ $l$ の両端固定梁において、左端Aと右端Bがともに固定端です。荷重強度が中央で最大 $q$、両端で $0$ となる山形（三角形）分布荷重が作用しています。荷重分布は以下の通りです。
$$w(x) = \begin{cases} \dfrac{2qx}{l} & (0 \le x \le l/2) \\[6pt] \dfrac{2q(l - x)}{l} & (l/2 \le x \le l) \end{cases}$$梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。
固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。
- 反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
- 固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}},\, J_{\mathrm{B}}$
- 中央（$x = l/2$）のたわみ $\delta_{\max}$
解答
荷重の合力は:
$$W = \frac{1}{2} \times l \times q = \frac{ql}{2}$$解法の方針
両端固定梁は2次不静定構造ですが、対称性を使って片持ち梁の問題に帰着させると簡潔に解けます。
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対称性による中央切断
荷重も構造も左右対称なので、中央断面ではせん断力 $V = 0$、たわみ角 $\theta = 0$ です。
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片持ち梁への帰着
中央で切断すると、左半分は長さ $l/2$ の片持ち梁（A端固定、切断面が自由端）になります。この自由端には:
- 三角形分布荷重 $w(x) = 2qx/l$（固定端で $0$、自由端で $q$）
- 未知の外力モーメント $M_0$（切断面の内力）
が作用しています。せん断力は対称性からゼロです。
図2: 等価片持ち梁（中央で切断した左半分） -
片持ち梁の既知公式を適用
自由端のたわみ角 $= 0$ という条件から $M_0$ を決定します。片持ち梁の結果（三角形分布荷重・モーメント荷重）をそのまま使えます。
反力の算出
中央モーメント $M_0$ の決定
左半分を長さ $L = l/2$、荷重の最大値 $q_0 = q$ の片持ち梁とみなします。自由端のたわみ角を、三角形分布荷重によるものとモーメント $M_0$ によるもので重ね合わせます。
三角形分布荷重によるたわみ角（片持ち梁・三角形分布荷重（0→q）の公式 $\theta = q_0 L^3 / (8EI)$ より）:
$$\theta_{\text{荷重}} = \frac{q \left(\frac{l}{2}\right)^3}{8EI} = \frac{ql^3}{64EI}$$外力モーメント $M_0$ によるたわみ角（片持ち梁・モーメント荷重（自由端）の公式 $\theta = M_0 L / (EI)$ より）:
$$\theta_{M_0} = \frac{M_0 \cdot \frac{l}{2}}{EI} = \frac{M_0 l}{2EI}$$自由端のたわみ角 $= 0$ の条件 $\theta_{\text{荷重}} = \theta_{M_0}$ から:
$$\frac{ql^3}{64EI} = \frac{M_0 l}{2EI}$$ $$\boxed{M_0 = \frac{ql^2}{32}} \quad \text{（中央のサギングモーメント）}$$鉛直反力
対称性と鉛直方向の釣り合いから:
$$R_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}} = \frac{ql}{4}$$固定端モーメント
左半分の片持ち梁について、A点まわりのモーメントの釣り合いを取ります。三角形分布荷重（合力 $ql/4$、作用点 $x = l/3$）のモーメントは:
$$\frac{ql}{4} \times \frac{l}{3} = \frac{ql^2}{12}$$これと $M_0$ の釣り合いから:
$$J_{\mathrm{A}} = \frac{ql^2}{12} - M_0 = \frac{ql^2}{12} - \frac{ql^2}{32} = \frac{8ql^2 - 3ql^2}{96}$$ $$\boxed{J_{\mathrm{A}} = J_{\mathrm{B}} = \frac{5ql^2}{96}}$$たわみ
最大たわみ（中央 $x = l/2$）も片持ち梁の結果の重ね合わせで求まります。
三角形分布荷重による自由端たわみ（公式 $\frac{EI\delta}{q_0 L^4} = \frac{11}{120}$ より）:
$$\frac{EI}{ql^4}\,\delta_{\text{荷重}} = \frac{11}{120} \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{11}{1920}$$外力モーメント $M_0 = ql^2/32$ による自由端たわみ（公式 $\frac{EI\delta}{M_0 L^2} = \frac{1}{2}$ より）:
$$\frac{EI}{ql^4}\,\delta_{M_0} = \frac{1}{2} \cdot \frac{M_0}{ql^2} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{256}$$荷重は梁を下に押し、$M_0$ は上に押し戻すので:
$$\frac{EI}{ql^4}\,\delta_{\max} = \frac{11}{1920} - \frac{1}{256} = \frac{22 - 15}{3840}$$ $$\boxed{\delta_{\max} = \frac{7ql^4}{3840EI}}$$解答まとめ
両端固定梁・山形分布荷重の解答
$$R_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}} = \frac{ql}{4}$$ $$J_{\mathrm{A}} = J_{\mathrm{B}} = \frac{5ql^2}{96}$$ $$\delta_{\max} = \frac{7ql^4}{3840EI}$$補足：せん断力図・曲げモーメント図
せん断力図（SFD）
左半分（$0 \le x \le l/2$）について、反力から荷重の累積を引きます:
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - \int_0^x \frac{2qt}{l}\,dt = \frac{ql}{4} - \frac{qx^2}{l}$$- $x = 0$: $V(0) = ql/4$
- $x = l/2$: $V(l/2) = 0$（対称性と一致）
反対称性 $V(x) = -V(l - x)$ より、SFDは中央でゼロ、放物線状です。
曲げモーメント図（BMD）
左半分（$0 \le x \le l/2$）:
$$M(x) = -\frac{5ql^2}{96} + \frac{qlx}{4} - \frac{qx^3}{3l}$$- $x = 0$: $M(0) = -\dfrac{5ql^2}{96}$（ホギング）
- $x = l/2$: $M(l/2) = -\dfrac{5ql^2}{96} + \dfrac{ql^2}{8} - \dfrac{ql^2}{24} = \dfrac{ql^2}{32}$（サギング最大）
対称性より $M(l) = M(0) = -\dfrac{5ql^2}{96}$ です。変曲点（$M = 0$）は $x \approx 0.22l$ および $x \approx 0.78l$ の位置にあります。
ポイント
- 対称切断 → 片持ち梁が最大のポイント。2次不静定を解いている感覚なしに答えが出ます。
- 使った片持ち梁の公式はたった2つ: 三角形分布荷重の $\theta, \delta$ と 自由端モーメントの $\theta, \delta$ です。
- 中央モーメント $M_0 = ql^2/32$ が先に求まり、固定端モーメント $J_{\mathrm{A}} = 5ql^2/96$ はA点のモーメント釣り合いから出るだけです。
- 等分布荷重の場合との比較: 固定端モーメントは約6割（$5/96 \approx 0.052$ vs $1/12 \approx 0.083$）、最大たわみは約7割（$7/3840 \approx 0.00182$ vs $1/384 \approx 0.00260$）。