問題
長さ $l$ の両端固定梁において、左端Aと右端Bがともに固定端です。左半分（$0 \le x \le l/2$）のみに下向きの等分布荷重 $q$（単位長さあたり）が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。
固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。
- 反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
- 固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}},\, J_{\mathrm{B}}$
解答
荷重の合力は:
$$W = q \times \frac{l}{2} = \frac{ql}{2}$$解法の方針
等分布荷重は微小な集中荷重の重ね合わせです。両端固定梁の偏心集中荷重の結果を積分することで、連立方程式を解くことなく反力・固定端モーメントが求まります。
偏心集中荷重 $P$ の結果（$a$, $b$ は無次元比率、$a + b = 1$）:
$$R_{\mathrm{B}} = a^2(3-2a) \cdot P, \qquad J_{\mathrm{B}} = a^2(1-a) \cdot Pl$$ $$R_{\mathrm{A}} = b^2(3-2b) \cdot P, \qquad J_{\mathrm{A}} = b^2(1-b) \cdot Pl$$等分布荷重 $q$ の微小区間に作用する荷重は $P = ql\,da = ql\,db$ です。A端から見た $a$ で積分すればB端の反力、B端から見た $b$ で積分すればA端の反力が得られます。荷重範囲 $0 \le x \le l/2$ は $a \in [0, 1/2]$、$b \in [1/2, 1]$ に対応します。
反力の算出
B端の反偶力 $J_{\mathrm{B}}$
$$\frac{J_{\mathrm{B}}}{ql^2} = \int_0^{1/2} a^2(1-a)\,da = \left[\frac{a^3}{3} - \frac{a^4}{4}\right]_0^{1/2} = \frac{1}{24} - \frac{1}{64} = \frac{5}{192}$$B端の鉛直反力 $R_{\mathrm{B}}$
$$\frac{R_{\mathrm{B}}}{ql} = \int_0^{1/2} a^2(3-2a)\,da = \left[a^3 - \frac{a^4}{2}\right]_0^{1/2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{32} = \frac{3}{32}$$A端の鉛直反力 $R_{\mathrm{A}}$
$$\frac{R_{\mathrm{A}}}{ql} = \int_{1/2}^{1} b^2(3-2b)\,db = \left[b^3 - \frac{b^4}{2}\right]_{1/2}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{3}{32} = \frac{13}{32}$$A端の反偶力 $J_{\mathrm{A}}$
$$\frac{J_{\mathrm{A}}}{ql^2} = \int_{1/2}^{1} b^2(1-b)\,db = \left[\frac{b^3}{3} - \frac{b^4}{4}\right]_{1/2}^{1} = \frac{1}{12} - \frac{5}{192} = \frac{11}{192}$$まとめと検算
$$R_{\mathrm{A}} = \frac{13}{32} \cdot ql, \qquad R_{\mathrm{B}} = \frac{3}{32} \cdot ql$$ $$J_{\mathrm{A}} = \frac{11}{192} \cdot ql^2, \qquad J_{\mathrm{B}} = \frac{5}{192} \cdot ql^2$$検算: $R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = \dfrac{13+3}{32} \cdot ql = \dfrac{ql}{2}$ ✓（合計荷重 $q \cdot l/2$ と一致）
解答まとめ
両端固定梁・左半分等分布荷重の解答
$$R_{\mathrm{A}} = \frac{13}{32} \cdot ql, \qquad R_{\mathrm{B}} = \frac{3}{32} \cdot ql$$ $$J_{\mathrm{A}} = \frac{11}{192} \cdot ql^2, \qquad J_{\mathrm{B}} = \frac{5}{192} \cdot ql^2$$補足：せん断力図・曲げモーメント図
せん断力図（SFD）
荷重区間（$0 \le x \le l/2$）:
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - qx = \frac{13}{32}\,ql - qx$$- $x = 0$: $V(0) = \dfrac{13}{32}\,ql$
- $x = 13l/32$: $V = 0$（せん断力ゼロ → BMD極値）
- $x = l/2$: $V(l/2) = \dfrac{13}{32}\,ql - \dfrac{ql}{2} = -\dfrac{3}{32}\,ql$
無荷重区間（$l/2 \le x \le l$）:
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - \frac{ql}{2} = -\frac{3}{32}\,ql \quad (\text{一定})$$曲げモーメント図（BMD）
荷重区間（$0 \le x \le l/2$）:
$$M(x) = -J_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{A}} x - \frac{qx^2}{2} = -\frac{11}{192}\,ql^2 + \frac{13}{32}\,qlx - \frac{qx^2}{2}$$無荷重区間（$l/2 \le x \le l$）:
$x = l/2$ での値から $x = l$ での $-J_{\mathrm{B}}$ まで直線的に変化します。
各点での値:
- $x = 0$: $M(0) = -J_{\mathrm{A}} = -\dfrac{11}{192}\,ql^2$（ホギング）
- $x = l$: $M(l) = -J_{\mathrm{B}} = -\dfrac{5}{192}\,ql^2$（ホギング）
$J_{\mathrm{A}} > J_{\mathrm{B}}$ なので、荷重側（A端）の固定端モーメントの方が大きくなります。
ポイント
- 偏心集中荷重の結果を積分するだけで、連立方程式を解かずに全反力が求まります。
- 部分等分布荷重では対称性が使えないため、$J_{\mathrm{A}} \neq J_{\mathrm{B}}$、$R_{\mathrm{A}} \neq R_{\mathrm{B}}$ となります。
- 荷重側（A端）の反偶力 $\frac{11}{192}\,ql^2$ は、無荷重側（B端）の $\frac{5}{192}\,ql^2$ の約2.2倍です。
- 右半分（$l/2 \le x \le l$）ではせん断力が一定 $-\frac{3}{32}\,ql$ となり、BMDは直線的に変化します。
- $R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = ql/2$（合計荷重）の検算は必ず行いましょう。
- 全長分布荷重（$\frac{ql^2}{12}$）と比較すると: $J_{\mathrm{A}} = \frac{11}{192}\,ql^2 \approx 0.057\,ql^2$, 全長分布の $\frac{ql^2}{12} \approx 0.083\,ql^2$ の約69%です。