問題
長さ $l$ の片持ち梁において、左端Aを固定端、右端Bを自由端とします。三角形分布荷重が作用しており、荷重強度は固定端A（$x=0$）でゼロ、自由端B（$x=l$）で最大値 $q$ です。荷重強度は $w(x) = qx/l$ と表されます。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。
固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。
- 反力 $R_{\mathrm{A}}$ と固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}}$
- 自由端のたわみ $\delta_{\max}$
解答
反力の算出
固定端Aには鉛直反力 $R_{\mathrm{A}}$ と反偶力 $J_{\mathrm{A}}$ が発生します。分布荷重の合力とその作用点を求めてから釣り合い式を立てます。
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合力の計算
三角形分布荷重の合力 $W$ は荷重分布の面積に等しい:
$$W = \int_0^l \frac{qx}{l}\,dx = \frac{q}{l} \cdot \frac{l^2}{2} = \frac{ql}{2}$$合力の作用点は、三角形の重心より $x = \dfrac{2l}{3}$（固定端から）。
- 鉛直方向の力の釣り合い $$R_{\mathrm{A}} - \frac{ql}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{A}} = \frac{ql}{2}$$
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A点まわりのモーメントの釣り合い
反時計回りを正とします。
$$J_{\mathrm{A}} - \frac{ql}{2} \cdot \frac{2l}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad J_{\mathrm{A}} = \frac{ql^2}{3}$$
たわみとたわみ角
たわみの微分方程式 $EI\,y'' = M(x)$ を解きます。境界条件は固定端（$x = 0$）でたわみ $y = 0$、たわみ角 $y' = 0$ です。
微分方程式の設定
$$EI\,y'' = M(x) = \frac{ql^2}{3} - \frac{ql}{2}x + \frac{qx^3}{6l}$$1回積分（たわみ角）
$$EI\,y' = \frac{ql^2}{3}x - \frac{ql}{4}x^2 + \frac{qx^4}{24l} + C_1$$境界条件 $y'(0) = 0$ より $C_1 = 0$。
$$EI\,y' = \frac{ql^2 x}{3} - \frac{qlx^2}{4} + \frac{qx^4}{24l}$$2回積分（たわみ）
$$EI\,y = \frac{ql^2 x^2}{6} - \frac{qlx^3}{12} + \frac{qx^5}{120l} + C_2$$境界条件 $y(0) = 0$ より $C_2 = 0$。
結果
たわみ:
$$y(x) = \frac{q}{120\,EI\,l}\left(20l^3 x^2 - 10l^2 x^3 + x^5\right)$$たわみ角:
$$\theta(x) = y'(x) = \frac{q}{24\,EI\,l}\left(8l^3 x - 6l^2 x^2 + x^4\right)$$最大たわみ（自由端 $x = l$）:
$$\delta_{\max} = y(l) = \frac{q}{120\,EI\,l}\left(20l^5 - 10l^5 + l^5\right) = \frac{11ql^4}{120\,EI}$$最大たわみ角（自由端 $x = l$）:
$$\theta_{\max} = \theta(l) = \frac{q}{24\,EI\,l}\left(8l^4 - 6l^4 + l^4\right) = \frac{3ql^3}{24\,EI} = \frac{ql^3}{8\,EI}$$解答まとめ
片持ち梁・三角形分布荷重（固定端ゼロ・自由端最大 q）の解答
$$R_{\mathrm{A}} = \frac{ql}{2}, \qquad J_{\mathrm{A}} = \frac{ql^2}{3}$$ $$\delta_{\max} = \frac{11ql^4}{120\,EI}, \qquad \theta_{\max} = \frac{ql^3}{8\,EI}$$補足：せん断力図・曲げモーメント図
せん断力図（SFD）
任意の位置 $x$（$0 \le x \le l$）で梁を切断し、左側の釣り合いを考えます。位置 $x$ までの分布荷重の合力は $\int_0^x \dfrac{qt}{l}\,dt = \dfrac{qx^2}{2l}$ です。
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - \frac{qx^2}{2l} = \frac{ql}{2} - \frac{qx^2}{2l}$$- $x = 0$（固定端A）: $V = \dfrac{ql}{2}$（最大）
- $x = l$（自由端B）: $V = \dfrac{ql}{2} - \dfrac{ql}{2} = 0$
せん断力は固定端で最大 $\dfrac{ql}{2}$ となり、自由端に向かって放物線状（下に凸）に減少してゼロになります。
曲げモーメント図（BMD）
任意の位置 $x$ での曲げモーメントは、固定端からの距離 $x$ までの力とモーメントの釣り合いから:
$$M(x) = J_{\mathrm{A}} - R_{\mathrm{A}} \cdot x + \int_0^x \frac{qt}{l} \cdot (x - t)\,dt$$積分を計算します:
$$\int_0^x \frac{qt}{l}(x-t)\,dt = \frac{q}{l}\int_0^x (xt - t^2)\,dt = \frac{q}{l}\left[\frac{xt^2}{2} - \frac{t^3}{3}\right]_0^x = \frac{q}{l}\cdot\frac{x^3}{6} = \frac{qx^3}{6l}$$したがって:
$$M(x) = \frac{ql^2}{3} - \frac{ql}{2}\cdot x + \frac{qx^3}{6l} = \frac{q(2l^3 - 3l^2 x + x^3)}{6l}$$- $x = 0$（固定端A）: $M = \dfrac{ql^2}{3}$（最大）
- $x = l$（自由端B）: $M = \dfrac{q(2l^3 - 3l^3 + l^3)}{6l} = 0$
曲げモーメントは固定端で最大 $\dfrac{ql^2}{3}$ となり、自由端に向かって3次曲線（cubic）で減少してゼロになります。
ポイント
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逆向き三角形荷重との比較（固定端最大 $q$・自由端ゼロの場合）:
- 逆向き: $\delta_{\max} = \dfrac{ql^4}{30EI} = \dfrac{4ql^4}{120EI}$
- このケース: $\delta_{\max} = \dfrac{11ql^4}{120EI}$
このケース（自由端最大）の最大たわみは逆向き（固定端最大）の約 $2.75$ 倍になります。荷重が固定端に近いほど梁が変形しにくく、自由端に近いほど大きなたわみを生じます。
- せん断力の形状: $V(x) = \dfrac{q}{2l}(l^2 - x^2)$ は放物線（下に凸）。固定端で最大、自由端でゼロ。等分布荷重では線形になるのと対比させて覚えよう。
- 曲げモーメントの形状: 3次曲線で、固定端での傾き $M'(0) = -\dfrac{ql}{2}$ は有限だが大きく、自由端では $M'(l) = 0$（水平）。固定端直近で急に増大するのがこの荷重パターンの特徴。
- 積分定数の決定: 両方の境界条件（$y(0)=0$, $y'(0)=0$）が固定端Aに集中しているため、積分定数が直ちに $C_1 = C_2 = 0$ と定まる。これは片持ち梁の計算を簡単にする利点。
- 院試での頻出パターン: 三角形分布荷重は方向（どちら向きが大きいか）によって答えが大きく変わるため、問題設定の確認が重要。