問題
長さ $l$ の両端固定梁において、左端Aと右端Bがともに固定端です。全長にわたって下向きの等分布荷重 $q$（単位長さあたり）が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。
固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。
- 反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
- 固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}},\, J_{\mathrm{B}}$
- 最大たわみ $\delta_{\max}$
解答
荷重の合力は:
$$W = q \times l = ql$$解法の方針
等分布荷重は微小な集中荷重の重ね合わせです。両端固定梁の偏心集中荷重の結果を積分することで、連立方程式を解くことなく反力・固定端モーメントが求まります。
偏心集中荷重 $P$ の結果（$a$, $b$ は無次元比率、$a + b = 1$）:
$$R_{\mathrm{B}} = a^2(3-2a) \cdot P, \qquad J_{\mathrm{B}} = a^2(1-a) \cdot Pl$$ $$R_{\mathrm{A}} = b^2(3-2b) \cdot P, \qquad J_{\mathrm{A}} = b^2(1-b) \cdot Pl$$等分布荷重 $q$ の微小区間に作用する荷重は $P = ql\,da$ です。荷重範囲は全長なので $a \in [0, 1]$ で積分します。
反力の算出
B端の反偶力 $J_{\mathrm{B}}$
$$\frac{J_{\mathrm{B}}}{ql^2} = \int_0^{1} a^2(1-a)\,da = \left[\frac{a^3}{3} - \frac{a^4}{4}\right]_0^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$B端の鉛直反力 $R_{\mathrm{B}}$
$$\frac{R_{\mathrm{B}}}{ql} = \int_0^{1} a^2(3-2a)\,da = \left[a^3 - \frac{a^4}{2}\right]_0^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$まとめと検算
対称性から $R_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}}$, $J_{\mathrm{A}} = J_{\mathrm{B}}$ です。
$$R_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}} = \frac{ql}{2}, \qquad J_{\mathrm{A}} = J_{\mathrm{B}} = \frac{ql^2}{12}$$検算: $R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = ql$ ✓（合計荷重と一致）
たわみ
最大たわみは中央（$x = l/2$）で発生します。
$$\delta_{\max} = \frac{ql^4}{384EI}$$これは単純支持梁の等分布荷重の場合（$\delta = \frac{5ql^4}{384EI}$）の1/5です。
解答まとめ
両端固定梁・等分布荷重の解答
$$R_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}} = \frac{ql}{2}$$ $$J_{\mathrm{A}} = J_{\mathrm{B}} = \frac{ql^2}{12}$$ $$\delta_{\max} = \frac{ql^4}{384EI}$$補足：せん断力図・曲げモーメント図
せん断力図（SFD）
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - qx = q\left(\frac{l}{2} - x\right)$$- $x = 0$: $V(0) = ql/2$（正）
- $x = l/2$: $V(l/2) = 0$（ゼロ → 曲げモーメント極値）
- $x = l$: $V(l) = -ql/2$（負）
曲げモーメント図（BMD）
$$M(x) = \frac{qlx}{2} - \frac{qx^2}{2} - \frac{ql^2}{12}$$- $x = 0$: $M(0) = -\dfrac{ql^2}{12}$（ホギング）
- $x = l$: $M(l) = -\dfrac{ql^2}{12}$（ホギング）
- $x = l/2$: $M(l/2) = \dfrac{ql^2}{4} - \dfrac{ql^2}{8} - \dfrac{ql^2}{12} = \dfrac{ql^2}{24}$（サギング最大）
変曲点（$M = 0$）は $x = l/2 \pm l/(2\sqrt{3}) \approx 0.211l,\ 0.789l$ の位置にあります。
ポイント
- 反偶力 $\frac{ql^2}{12}$ は頻出値です。必ず覚えましょう。
- 中央のサギングモーメント $\frac{ql^2}{24}$ は、反偶力 $\frac{ql^2}{12}$ の半分です。
- 最大曲げモーメントは固定端で発生し、その値は中央の2倍です。設計では固定端が危険断面となります。
- せん断力は線形に変化し、中央でゼロになります。これは等分布荷重の一般的な特徴です。
- 最大たわみ $\frac{ql^4}{384EI}$ は、単純支持梁の $\frac{5ql^4}{384EI}$ の1/5です。