両端固定梁の三角形分布荷重（左端0・右端q）

問題

長さ $l$ の両端固定梁において、左端Aと右端Bがともに固定端である。左端Aから右方向に $x$ 軸を取り、左端で 0、右端で最大 $q$ となる下向きの三角形分布荷重が作用しているものとする。左端から $al$ の位置を考え、$a+b=1$ とする。荷重強度は $w(x)=qx/l$、梁の曲げ剛性は $EI$（一様）である。

1. 反力 $R_{\mathrm{A}},\,R_{\mathrm{B}}$
2. 反偶力 $J_{\mathrm{A}},\,J_{\mathrm{B}}$

解答

解法の方針

三角形分布荷重を微小な集中荷重の重ね合わせとして扱い、両端固定梁・偏心集中荷重の結果を積分する。

偏心集中荷重 $P$ が左端から $al$ の位置に作用するとき:

$$ \begin{aligned} R_{\mathrm{A}} &= b^2(3-2b)P, & R_{\mathrm{B}} &= a^2(3-2a)P \\ J_{\mathrm{A}} &= b^2(1-b)P\mkern1mu l, & J_{\mathrm{B}} &= a^2(1-a)P\mkern1mu l \end{aligned} $$

この問題では、左端から $al$ の位置での荷重強度は

$$ \begin{aligned} w(al) &= aq \\ &= (1-b)q \end{aligned} $$

反力の算出

A端の反力 $R_{\mathrm{A}}$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{ql}R_{\mathrm{A}} &= \int_0^1 (1-b)b^2(3-2b)\,db \\ &= \int_0^1 (3b^2-5b^3+2b^4)\,db \\ &= \left[b^3 - \frac{5b^4}{4} + \frac{2b^5}{5}\right]_0^1 \\ &= 1 - \frac{5}{4} + \frac{2}{5} \\ &= \frac{3}{20} \end{aligned} $$

B端の反力 $R_{\mathrm{B}}$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{ql}R_{\mathrm{B}} &= \int_0^1 a \cdot a^2(3-2a)\,da \\ &= \int_0^1 (3a^3-2a^4)\,da \\ &= \left[\frac{3a^4}{4} - \frac{2a^5}{5}\right]_0^1 \\ &= \frac{3}{4} - \frac{2}{5} \\ &= \frac{7}{20} \end{aligned} $$

反偶力の算出

A端の反偶力 $J_{\mathrm{A}}$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{ql^2}J_{\mathrm{A}} &= \int_0^1 (1-b)b^2(1-b)\,db \\ &= \int_0^1 (b^2-2b^3+b^4)\,db \\ &= \left[\frac{b^3}{3} - \frac{b^4}{2} + \frac{b^5}{5}\right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \\ &= \frac{1}{30} \end{aligned} $$

B端の反偶力 $J_{\mathrm{B}}$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{ql^2}J_{\mathrm{B}} &= \int_0^1 a \cdot a^2(1-a)\,da \\ &= \int_0^1 (a^3-a^4)\,da \\ &= \left[\frac{a^4}{4} - \frac{a^5}{5}\right]_0^1 \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \\ &= \frac{1}{20} \end{aligned} $$

解答まとめ