両端固定梁の偏心集中荷重

両端固定梁のA端から距離 $al$ の点Cに集中荷重 $P$ が作用する場合の反力・固定端モーメント・せん断力・曲げモーメント・たわみを求めます。$a + b = 1$ とします。

問題

長さ $l$ の両端固定梁において、左端Aと右端Bがともに固定端です。A端から距離 $al$ の点Cに下向きの集中荷重 $P$ が作用しています。$a$, $b$ は無次元の比率で $a + b = 1$ とし、梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。

図1: 両端固定梁・偏心集中荷重

固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。

反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}},\, J_{\mathrm{B}}$
荷重点C（$x = al$）のたわみ $\delta_{\mathrm{C}}$

解答

解法の方針

両端固定梁は2次不静定構造です。右端Bの固定を外して片持ち梁（左端A固定）とし、自由端Bに上向き反力 $R_{\mathrm{B}}$ と時計回りの反偶力 $J_{\mathrm{B}}$ を冗長力として作用させます。

図2: 等価片持ち梁モデル — B端の固定を外し、反力 R_B と反偶力 J_B を作用させる

基本系の設定: 右端Bの固定を外し、片持ち梁とします。自由端Bに上向き反力 $R_{\mathrm{B}}$ と時計回りの反偶力 $J_{\mathrm{B}}$ を作用させます。
適合条件: B端でのたわみとたわみ角がゼロ（元の固定端条件）：$\delta_{\mathrm{B}} = 0$, $\theta_{\mathrm{B}} = 0$。
重ね合わせ: 荷重 $P$、反力 $R_{\mathrm{B}}$、反偶力 $J_{\mathrm{B}}$ それぞれによるB端でのたわみ・たわみ角を重ね合わせ、連立方程式を解きます。

偏心荷重では $a \neq b$ のため、対称性は使えません。連立方程式を解いて $R_{\mathrm{B}}$, $J_{\mathrm{B}}$ を求めます。

反力の算出

片持ち梁の公式（B端でのたわみ・たわみ角）

片持ち梁（A端固定）に対して、各荷重がB端に与えるたわみ $\delta_{\mathrm{B}}$（下向き正）とたわみ角 $\theta_{\mathrm{B}}$（時計回り正）は:

① 荷重 $P$（$x = al$ に下向き）:

$$\delta_{\mathrm{B}1} = \frac{a^2(3-a)}{6} \cdot \frac{Pl^3}{EI}, \qquad \theta_{\mathrm{B}1} = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{Pl^2}{EI}$$

② 反力 $R_{\mathrm{B}}$（$x = l$ に上向き）:

$$\delta_{\mathrm{B}2} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{EI}, \qquad \theta_{\mathrm{B}2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{R_{\mathrm{B}} l^2}{EI}$$

③ 反偶力 $J_{\mathrm{B}}$（$x = l$ に時計回り）:

$$\delta_{\mathrm{B}3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{J_{\mathrm{B}} l^2}{EI}, \qquad \theta_{\mathrm{B}3} = \frac{J_{\mathrm{B}} l}{EI}$$

適合条件（連立方程式）

B端は元の両端固定梁では固定端なので、たわみ・たわみ角ともにゼロ:

$$\delta_{\mathrm{B}} = \delta_{\mathrm{B}1} + \delta_{\mathrm{B}2} + \delta_{\mathrm{B}3} = 0$$ $$\theta_{\mathrm{B}} = \theta_{\mathrm{B}1} + \theta_{\mathrm{B}2} + \theta_{\mathrm{B}3} = 0$$

代入して整理すると:

$$\frac{a^2(3-a)}{6} \cdot Pl^3 - \frac{1}{3} R_{\mathrm{B}} l^3 + \frac{1}{2} J_{\mathrm{B}} l^2 = 0 \quad \cdots (i)$$ $$\frac{a^2}{2} \cdot Pl^2 - \frac{1}{2} R_{\mathrm{B}} l^2 + J_{\mathrm{B}} l = 0 \quad \cdots (ii)$$

連立方程式の求解

式(ii)より:

$$R_{\mathrm{B}} = a^2 P + \frac{2J_{\mathrm{B}}}{l} \quad \cdots (ii')$$

式(ii')を式(i)に代入:

$$\frac{a^2(3-a)}{6} \cdot Pl^3 - \frac{1}{3}\left(a^2 P + \frac{2J_{\mathrm{B}}}{l}\right)l^3 + \frac{1}{2} J_{\mathrm{B}} l^2 = 0$$

整理すると:

$$a^2(3-a)Pl^3 - 2a^2 Pl^3 - \frac{4J_{\mathrm{B}} l^2}{3} \cdot \frac{3}{1} + 3J_{\mathrm{B}} l^2 = 0$$

$J_{\mathrm{B}}$ について解くと:

$$\frac{J_{\mathrm{B}}}{l} = a^2(1-a) P$$ $$\boxed{J_{\mathrm{B}} = a^2(1-a) \cdot Pl}$$

式(ii')に戻して $R_{\mathrm{B}}$ を求めると:

$$R_{\mathrm{B}} = a^2 P + 2a^2(1-a) P = a^2\bigl(1 + 2 - 2a\bigr) P$$ $$\boxed{R_{\mathrm{B}} = a^2(3-2a) \cdot P}$$

$R_{\mathrm{A}}$, $J_{\mathrm{A}}$ の算出

対称性から、B端を固定端とする片持ち梁モデルで考えると、$a$ を $b$ に置き換えた同じ形の式が成り立ちます:

$$\boxed{R_{\mathrm{A}} = b^2(3-2b) \cdot P}$$ $$\boxed{J_{\mathrm{A}} = b^2(1-b) \cdot Pl}$$

検算（力の釣り合い）: $R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = b^2(3-2b) \cdot P + a^2(3-2a) \cdot P = (a+b)^3 \cdot P = P$ ✓

検算: $R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = (1 - 3a^2 + 2a^3) \cdot P + a^2(3-2a) \cdot P = (1 - 3a^2 + 2a^3 + 3a^2 - 2a^3) \cdot P = P$ ✓

たわみ

荷重点C（$x = al$）でのたわみは:

$$\delta_{\mathrm{C}} = \frac{a^3 b^3}{3} \cdot \frac{Pl^3}{EI}$$

$a = b = 1/2$（中央荷重）の場合: $\delta_{\mathrm{C}} = \frac{(1/2)^3(1/2)^3}{3} \cdot \frac{Pl^3}{EI} = \frac{1}{192} \cdot \frac{Pl^3}{EI}$ となり、中央集中荷重の公式と一致します。

解答まとめ

両端固定梁・偏心集中荷重の解答（$a + b = 1$）

$$R_{\mathrm{A}} = b^2(3-2b) \cdot P, \qquad R_{\mathrm{B}} = a^2(3-2a) \cdot P$$ $$J_{\mathrm{A}} = b^2(1-b) \cdot Pl, \qquad J_{\mathrm{B}} = a^2(1-a) \cdot Pl$$ $$\delta_{\mathrm{C}} = \frac{a^3 b^3}{3} \cdot \frac{Pl^3}{EI}$$

補足：せん断力図・曲げモーメント図

せん断力図（SFD）

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} = b^2(3-2b) \cdot P \quad (0 \le x < al)$$ $$V(x) = R_{\mathrm{A}} - P = -a^2(3-2a) \cdot P = -R_{\mathrm{B}} \quad (al < x \le l)$$

荷重点Cでせん断力が $P$ だけ不連続に変化します。

図3: せん断力図

曲げモーメント図（BMD）

$0 \le x \le al$ の区間:

$$M(x) = R_{\mathrm{A}} x - J_{\mathrm{A}} = b^2(3-2b) \cdot Px - b^2(1-b) \cdot Pl$$

$al \le x \le l$ の区間:

$$M(x) = R_{\mathrm{A}} x - J_{\mathrm{A}} - P(x - al)$$

各点での値:

$x = 0$: $M(0) = -J_{\mathrm{A}} = -b^2(1-b) \cdot Pl$（ホギング）
$x = al$（荷重点C）: $M(al) = 2a^2 b^2 \cdot Pl$（正の最大モーメント）
$x = l$: $M(l) = -J_{\mathrm{B}} = -a^2(1-a) \cdot Pl$（ホギング）

図4: 曲げモーメント図

ポイント

偏心荷重では $J_{\mathrm{A}} \neq J_{\mathrm{B}}$、$R_{\mathrm{A}} \neq R_{\mathrm{B}}$ となり、対称性が使えません。
$J_{\mathrm{A}} = b^2(1-b) \cdot Pl$ と $J_{\mathrm{B}} = a^2(1-a) \cdot Pl$ は $a \leftrightarrow b$ の対称形。荷重に近い側が大きくなります（$a < b$ なら $J_{\mathrm{A}} > J_{\mathrm{B}}$）。
荷重点でのモーメント $M(al) = 2a^2 b^2 \cdot Pl$ は正（サギング）で、荷重が中央のとき最大値 $\frac{Pl}{8}$ を取ります。
荷重点のたわみ $\delta_{\mathrm{C}} = \frac{a^3 b^3}{3} \cdot \frac{Pl^3}{EI}$ は $a = b = 1/2$ のとき最大になります。
中央荷重の公式（ページ1）は、本ページの一般式で $a = b = 1/2$ とした特殊ケースです。

問題

解答