単純支持梁の中心モーメント荷重

左端Aをピン支持、右端Bをローラー支持とする単純支持梁の中央に集中モーメント $M_0$（時計回り）が作用する場合の反力・せん断力・曲げモーメント・たわみを求めます。

問題

長さ $l$ の単純支持梁において、左端Aをピン支持、右端Bをローラー支持とします。梁の中央（$x = l/2$）に時計回りの集中モーメント $M_0$ が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。

図1: 単純支持梁・中心モーメント荷重

左端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。

反力 $R_{\mathrm{A}}$, $R_{\mathrm{B}}$
最大たわみ $\delta_{\max}$

解答

反力の算出

ピン支持Aには鉛直反力 $R_{\mathrm{A}}$、ローラー支持Bには鉛直反力 $R_{\mathrm{B}}$ が発生する。外力はモーメントのみ（鉛直力なし）なので、反力は偶力として現れる。

A点まわりのモーメントの釣り合い
反時計回りを正とする。中央に時計回りの $M_0$ が作用し、B端の鉛直反力 $R_{\mathrm{B}}$ が距離 $l$ で反時計回りモーメントを作る。
$$R_{\mathrm{B}} \cdot l - M_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{B}} = \frac{M_0}{l}$$
ただし力の方向を確認すると、$R_{\mathrm{B}}$ は下向きに作用する（$M_0/l$ 下向き）。
B点まわりのモーメントの釣り合い $$-R_{\mathrm{A}} \cdot l + M_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{A}} = \frac{M_0}{l} \quad \text{（上向き）}$$
鉛直方向の力の釣り合い（検算） $$R_{\mathrm{A}} - R_{\mathrm{B}} = \frac{M_0}{l} - \frac{M_0}{l} = 0$$
外力に鉛直力がないので、反力の合計がゼロとなり整合する。

特異関数法

たわみの微分方程式 $-EI\,y'' = M(x)$ を直接積分します。特異関数（Macaulayの括弧）を使うことで、モーメント荷重の作用点で場合分けせずに、1本の式で梁全体のたわみを求めることができます。

Macaulayの括弧（特異関数）

特異関数 $\langle x - c \rangle^n$ は次のように定義されます:

$$\langle x - c \rangle^n = \begin{cases} (x - c)^n & (x \ge c) \\ 0 & (x < c) \end{cases}$$

積分公式:

$$\int \langle x - c \rangle^n \, dx = \frac{\langle x - c \rangle^{n+1}}{n+1} \quad (n \ge 0)$$

特異関数を使うと、荷重作用点の前後で区間分けせずに、せん断力・曲げモーメント・たわみを1本の式で統一的に扱えます。

たわみ

たわみ $y$ は下向きを正とします。特異関数を使うと、区間分けせずに微分方程式を1本の式で積分できます。

曲げモーメント

$x = l/2$ で時計回りのモーメント $M_0$ が作用するので、特異関数を使って:

$$M(x) = \frac{M_0}{l}\,x - M_0\langle x - l/2 \rangle^0$$

$x < l/2$: $\langle x - l/2 \rangle^0 = 0$ なので $M = M_0 x / l$
$x > l/2$: $\langle x - l/2 \rangle^0 = 1$ なので $M = M_0 x / l - M_0 = M_0(x/l - 1)$

微分方程式の積分

$$-EI\,y'' = M(x) = \frac{M_0}{l}\,x - M_0\langle x - l/2 \rangle^0$$

1回積分してたわみ角:

$$-EI\,y' = \frac{M_0}{2l}\,x^2 - M_0\langle x - l/2 \rangle + C_1$$

もう1回積分してたわみ:

$$-EI\,y = \frac{M_0}{6l}\,x^3 - \frac{M_0}{2}\langle x - l/2 \rangle^2 + C_1 x + C_2$$

境界条件

$y(0) = 0$ より: $\langle 0 - l/2 \rangle = 0$ なので $C_2 = 0$。

$y(l) = 0$ より:

$$0 = \frac{M_0}{6l} \cdot l^3 - \frac{M_0}{2}\left(\frac{l}{2}\right)^2 + C_1 \cdot l = \frac{M_0 l^2}{6} - \frac{M_0 l^2}{8} + C_1 l$$ $$C_1 l = -\frac{M_0 l^2}{6} + \frac{M_0 l^2}{8} = -\frac{M_0 l^2}{24}$$ $$C_1 = -\frac{M_0 l}{24}$$

たわみの式

$$-EI\,y = \frac{M_0}{6l}\,x^3 - \frac{M_0}{2}\langle x - l/2 \rangle^2 - \frac{M_0 l}{24}\,x$$ $$\boxed{y(x) = \frac{M_0}{24EIl}\left[l^2 x - 4x^3 + 12l\langle x - l/2 \rangle^2\right]}$$

最大たわみの位置

左半分（$0 \le x < l/2$）では $\langle x - l/2 \rangle = 0$ なので:

$$y(x) = \frac{M_0}{24EIl}\left(l^2 x - 4x^3\right)$$

$y'(x) = 0$ とおく:

$$\frac{M_0}{24EIl}\left(l^2 - 12x^2\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{l^2}{12}$$ $$x = \frac{l}{2\sqrt{3}} \approx 0.289\,l$$

最大たわみの値

$x = l/(2\sqrt{3})$ を代入:

$$l^2 x - 4x^3 = l^2 \cdot \frac{l}{2\sqrt{3}} - 4 \cdot \frac{l^3}{24\sqrt{3}} = \frac{l^3}{2\sqrt{3}} - \frac{l^3}{6\sqrt{3}} = \frac{l^3}{3\sqrt{3}} = \frac{l^3\sqrt{3}}{9}$$ $$\delta_{\max} = \frac{M_0}{24EIl} \cdot \frac{l^3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{216} \cdot \frac{M_0 l^2}{EI}$$

反対称性により、右半分でも $x = l - l/(2\sqrt{3}) \approx 0.711\,l$ の位置に同じ大きさの逆向きたわみが生じる。

解答まとめ

単純支持梁・中心モーメント荷重の解答

$$R_{\mathrm{A}} = \frac{M_0}{l} \quad \text{（上向き）}, \qquad R_{\mathrm{B}} = \frac{M_0}{l} \quad \text{（下向き）}$$ $$y(x) = \frac{M_0}{24EIl}\left[l^2 x - 4x^3 + 12l\langle x - l/2 \rangle^2\right]$$ $$\delta_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{216} \cdot \frac{M_0 l^2}{EI} \quad \left(x = \frac{l}{2\sqrt{3}} \approx 0.289\,l\right)$$

補足：せん断力図・曲げモーメント図

せん断力図（SFD）

モーメント荷重は鉛直力を生じないため、せん断力に不連続は生じない。特異関数を使うと、梁全長にわたって:

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} = \frac{M_0}{l} \quad (0 \le x \le l)$$

図2: せん断力図

曲げモーメント図（BMD）

特異関数を使うと、曲げモーメントは1本の式で: