単純支持梁の偏心集中荷重

問題

長さ $l$ の単純支持梁において、左端Aをピン支持、右端Bをローラー支持とします。A端から距離 $al$ の点Cに下向きの集中荷重 $P$ が作用しています。$a$, $b$ は無次元の比率で $a + b = 1$ とし、梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。

左端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。

1. 反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
2. 最大たわみ $\delta_{\max}$

解答

反力の算出

ピン支持Aとローラー支持Bにはそれぞれ鉛直反力 $R_{\mathrm{A}}$、$R_{\mathrm{B}}$ が発生します。

• B点まわりのモーメントの釣り合い

  反時計回りを正とします。

  $$R_{\mathrm{A}} \cdot l - P \cdot bl = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{A}} = b \cdot P$$
• A点まわりのモーメントの釣り合い $$R_{\mathrm{B}} \cdot l - P \cdot al = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{B}} = a \cdot P$$

検算: $R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = (a + b) \cdot P = P$ ✓。荷重に近い支点ほど大きな反力を受けます。

特異関数法

特異関数を使うと、荷重作用点の前後で区間分けせずに、せん断力・曲げモーメント・たわみを1本の式で統一的に扱えます。

たわみとたわみ角

たわみ $y$ は下向きを正とします。特異関数を使うと、区間分けせずに微分方程式を1本の式で積分できます。

微分方程式と積分

$$-EI\,y'' = M(x) = bPx - P\langle x - al \rangle$$

1回積分:

$$-EI\,y' = \frac{bPx^2}{2} - \frac{P\langle x - al \rangle^2}{2} + C_1$$

もう1回積分:

$$-EI\,y = \frac{bPx^3}{6} - \frac{P\langle x - al \rangle^3}{6} + C_1 x + C_2$$

境界条件の適用

$y(0) = 0$ より: $\langle 0 - al \rangle = 0$ なので $C_2 = 0$。

$y(l) = 0$ より:

$$\frac{bPl^3}{6} - \frac{P(bl)^3}{6} + C_1 l = 0$$ $$\frac{bPl^3}{6}(1 - b^2) + C_1 l = 0$$ $$C_1 = -\frac{b(1-b^2)}{6} \cdot Pl^2$$

結果

$-EI\,y$ の式:

$$-EI\,y = \frac{P}{6}\left[bx^3 - \langle x - al \rangle^3 - b(1-b^2)\,l^2 x\right]$$

たわみ（下向き正）:

$$\boxed{y(x) = -\frac{P}{6EI}\left[bx^3 - \langle x - al \rangle^3 - b(1-b^2)\,l^2 x\right]}$$

たわみ角:

$$-EI\,\theta = \frac{P}{6}\left[3bx^2 - 3\langle x - al \rangle^2 - b(1-b^2)\,l^2\right]$$

この1本の式が、区間分けなしに梁全体のたわみを表しています。

各端のたわみ角

A端（$x = 0$）:

$$-EI\,\theta_{\mathrm{A}} = -\frac{b(1-b^2)}{6} \cdot Pl^2 \quad \Rightarrow \quad \theta_{\mathrm{A}} = \frac{b(1-b^2)}{6} \cdot \frac{Pl^2}{EI}$$

B端（$x = l$）:

$$-EI\,\theta_{\mathrm{B}} = \frac{a(1-a^2)}{6} \cdot Pl^2 \quad \Rightarrow \quad \theta_{\mathrm{B}} = -\frac{a(1-a^2)}{6} \cdot \frac{Pl^2}{EI}$$

荷重作用点のたわみ

$x = al$ での値（$\langle al - al \rangle = 0$）:

$$-EI\,y(al) = \frac{Pa^2 bl^3}{6}\bigl[a - (1+b)\bigr] = \frac{Pa^2 bl^3}{6}(-2b) = -\frac{a^2 b^2}{3} \cdot Pl^3$$ $$y(al) = \frac{a^2 b^2}{3} \cdot \frac{Pl^3}{EI}$$

最大たわみ

最大たわみは、荷重作用点より長い方の区間に生じます。

$a \ge 1/2$ のとき（AC区間が長い）: AC区間で $\theta = 0$ を解くと:

$$3bx^2 = b(1-b^2)\,l^2 \quad \Rightarrow \quad x_{\max} = l\sqrt{\frac{1-b^2}{3}}$$ $$\delta_{\max} = \frac{b(1-b^2)^{3/2}}{9\sqrt{3}} \cdot \frac{Pl^3}{EI}$$

$a < 1/2$ のとき（CB区間が長い）: CB区間で $\theta = 0$ を解くと:

$$x_{\max} = l\left(1 - \sqrt{\frac{1-a^2}{3}}\right)$$ $$\delta_{\max} = \frac{a(1-a^2)^{3/2}}{9\sqrt{3}} \cdot \frac{Pl^3}{EI}$$

解答まとめ

補足：せん断力図・曲げモーメント図

せん断力図（SFD）

特異関数を使うと、せん断力は梁全体で:

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - P\langle x - al \rangle^0 = b \cdot P - P\langle x - al \rangle^0$$

• $x < al$: $\langle x - al \rangle^0 = 0$ なので $V = bP$
• $x > al$: $\langle x - al \rangle^0 = 1$ なので $V = bP - P = -aP = -R_{\mathrm{B}}$

曲げモーメント図（BMD）

曲げモーメントは:

$$M(x) = R_{\mathrm{A}} x - P\langle x - al \rangle = bPx - P\langle x - al \rangle$$

• $x = 0$, $x = l$: $M = 0$
• $x = al$（荷重作用点C）: $M = bP \cdot al = ab \cdot Pl$（最大）

曲げモーメントは荷重作用点Cで最大値 $ab \cdot Pl$ をとる三角形分布です。

ポイント

• 特異関数（Macaulayの括弧）を使うことで、荷重作用点での場合分けが不要になり、1本の式で梁全体を表せます。積分定数も境界条件だけで決まるため、接続条件を考える必要がありません。
• $a = b = 1/2$ を代入すると中央集中荷重の公式に一致します: $M_{\max} = \frac{1}{4} \cdot Pl$、$\delta_{\max} = \frac{1}{48} \cdot \frac{Pl^3}{EI}$。
• 反力はてこの原理で理解できます: $R_{\mathrm{A}} = bP$（Bに近いほど大きい）、$R_{\mathrm{B}} = aP$（Aに近いほど大きい）。
• 最大たわみは荷重作用点より長い方の区間に生じます。$a \ge 1/2$ ならAC区間（$b$ のみの式）、$a < 1/2$ ならCB区間（$a$ のみの式）です。$a = 1/2$ では両方一致します。
• $M_{\max} = ab \cdot Pl$ は $a + b = 1$ の制約下で $a = b = 1/2$ のとき最大値 $Pl/4$ をとります。
• この結果は重ね合わせの原理の基礎になります。複数の集中荷重がある場合も、各荷重ごとに解いて足し合わせることができます。