一端固定・他端ローラー支持梁の三角形分布荷重（固定端最大）

問題

長さ $l$ の梁において、左端Aを固定端、右端Bをローラー支持とします。固定端A（$x = 0$）で荷重強度が最大 $q$、ローラー端B（$x = l$）で0となる三角形分布荷重 $w(x) = q(1 - x/l)$ が下向きに作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。

この梁は反力が3つ（$R_{\mathrm{A}}$, $J_{\mathrm{A}}$, $R_{\mathrm{B}}$）あるのに対し、釣り合い条件は2つしかないため、1次不静定構造です。

固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。

1. 反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
2. 固定端モーメント $J_{\mathrm{A}}$

解答

解法の方針（重ね合わせ法）

ローラー支持Bの反力 $R_{\mathrm{B}}$ を冗長力とし、Bの拘束を解除して片持ち梁（固定端A、自由端B）に分解する。

• 系(1): 外力のみ

  片持ち梁に三角形分布荷重 $w(x) = q(1 - x/l)$ が作用。自由端Bでのたわみ（下向き）:

  $$\delta_q = \frac{ql^4}{30EI}$$
• 系(2): 冗長力のみ

  片持ち梁のBに上向き力 $R_{\mathrm{B}}$ が作用。自由端Bでのたわみ（上向き）:

  $$\delta_R = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$
• 適合条件

  元の構造ではBのたわみがゼロなので:

  $$\delta_q = \delta_R \quad \Rightarrow \quad \frac{ql^4}{30EI} = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$

反力の算出

適合条件から冗長力を求める。

$$R_{\mathrm{B}} = \frac{ql}{10}$$

三角形分布荷重の合力は $W = ql/2$ であるから、鉛直方向の力の釣り合いより:

$$R_{\mathrm{A}} = \frac{ql}{2} - R_{\mathrm{B}} = \frac{ql}{2} - \frac{ql}{10} = \frac{2ql}{5}$$

A点まわりのモーメントの釣り合いから反偶力（反時計回りを正）を求める。三角形分布荷重の合力の作用点はAから $l/3$ の位置にあるので:

$$J_{\mathrm{A}} = \frac{ql}{2} \cdot \frac{l}{3} - R_{\mathrm{B}} \cdot l = \frac{ql^2}{6} - \frac{ql^2}{10} = \frac{ql^2}{15}$$

解答まとめ

補足：せん断力図・曲げモーメント図

せん断力図（SFD）

固定端Aから右方向に $x$ 軸を取り、任意断面でのせん断力を求める。

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - \int_0^x q\!\left(1 - \frac{t}{l}\right)dt = \frac{2ql}{5} - q\!\left(x - \frac{x^2}{2l}\right)$$

• $x = 0$（固定端A）: $V = \dfrac{2ql}{5}$
• $x = l$（ローラーB）: $V = \dfrac{2ql}{5} - \dfrac{ql}{2} = -\dfrac{ql}{10} = -R_{\mathrm{B}}$ ✓
• ゼロ点: $V = 0$ となる位置は $x = l\!\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 0.553\,l$

曲げモーメント図（BMD）

任意の位置 $x$ での曲げモーメントを求める（下側引張を正とする）。

$$M(x) = -J_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{A}} x - q\!\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6l}\right) = -\frac{ql^2}{15} + \frac{2qlx}{5} - \frac{qx^2}{2} + \frac{qx^3}{6l}$$

• $x = 0$（固定端A）: $M = -\dfrac{ql^2}{15}$（ホギング）
• $x = l$（ローラーB）: $M = -\dfrac{ql^2}{15} + \dfrac{2ql^2}{5} - \dfrac{ql^2}{2} + \dfrac{ql^2}{6} = 0$ ✓
• 最大正モーメントの位置: $\dfrac{dM}{dx} = V(x) = 0$ より $x = l\!\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 0.553\,l$
• 最大正モーメント: $M_{\max} \approx 0.0298\,ql^2$

ポイント

• この梁は1次不静定であり、釣り合い条件だけでは反力が求まらない。変形の適合条件（ローラー点のたわみ＝0）が必要。
• 重ね合わせ法では、ローラー反力 $R_{\mathrm{B}}$ を冗長力として取り除き、片持ち梁に分解して考える。
• 片持ち梁の三角形分布荷重（$w(x) = q(1-x/l)$）による自由端たわみ $\delta = \dfrac{ql^4}{30EI}$ がポイント。等分布荷重の $ql^4/(8EI)$ と比較して小さい。
• 荷重の合力は $ql/2$ で、作用点はAから $l/3$ の位置（三角形の重心）にある。
• SFDは2次曲線（放物線）、BMDは3次曲線になる。等分布荷重のときのSFD（線形）・BMD（放物線）より1つ次数が上がっている。
• SFDのゼロ点（$x = l(1-1/\sqrt{5}) \approx 0.553\,l$）がBMDの極値点に対応する関係は、$V = dM/dx$ から導かれる。