問題
長さ $l$ の梁において、左端Aを固定端、右端Bをローラー支持とし、中央C（$x = l/2$）に下向きの集中荷重 $P$ が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。
この梁は反力が3つ（$R_{\mathrm{A}}$, $J_{\mathrm{A}}$, $R_{\mathrm{B}}$）あるのに対し、釣り合い条件は2つしかないため、1次不静定構造です。
固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。
- 反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
- 固定端モーメント $J_{\mathrm{A}}$
解答
解法の方針（重ね合わせ法）
ローラー支持Bの反力 $R_{\mathrm{B}}$ を冗長力とし、Bの拘束を解除して片持ち梁（固定端A、自由端B）に分解します。
-
系(1): 外力のみ
片持ち梁のCに荷重 $P$ が作用。自由端Bでのたわみ（下向き）:
$$\delta_P = \frac{Pa^2}{6EI}(3l - a) = \frac{P(l/2)^2}{6EI}\left(3l - \frac{l}{2}\right) = \frac{5Pl^3}{48EI}$$ -
系(2): 冗長力のみ
片持ち梁のBに上向き力 $R_{\mathrm{B}}$ が作用。自由端Bでのたわみ（上向き）:
$$\delta_R = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$ -
適合条件
元の構造ではBのたわみがゼロなので:
$$\delta_P = \delta_R \quad \Rightarrow \quad \frac{5Pl^3}{48EI} = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$
反力の算出
適合条件から冗長力を求めます。
$$R_{\mathrm{B}} = \frac{5P}{16}$$鉛直方向の力の釣り合いから:
$$R_{\mathrm{A}} = P - R_{\mathrm{B}} = P - \frac{5P}{16} = \frac{11P}{16}$$A点まわりのモーメントの釣り合いから反偶力（反時計回りを正）:
$$J_{\mathrm{A}} = P \cdot \frac{l}{2} - R_{\mathrm{B}} \cdot l = \frac{Pl}{2} - \frac{5Pl}{16} = \frac{3Pl}{16}$$反力のまとめ
$$R_{\mathrm{A}} = \frac{11P}{16}, \quad R_{\mathrm{B}} = \frac{5P}{16}, \quad J_{\mathrm{A}} = \frac{3Pl}{16}$$解答まとめ
一端固定・他端ローラー支持梁・中央集中荷重の公式
$$R_{\mathrm{A}} = \frac{11P}{16}, \quad R_{\mathrm{B}} = \frac{5P}{16}, \quad J_{\mathrm{A}} = \frac{3Pl}{16}$$補足：せん断力図・曲げモーメント図
せん断力図（SFD）
固定端Aから右方向に $x$ 軸を取り、任意断面でのせん断力を求めます。
区間1（$0 \le x < l/2$）:
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} = \frac{11P}{16}$$区間2（$l/2 < x \le l$）:
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - P = \frac{11P}{16} - P = -\frac{5P}{16}$$中央Cで荷重 $P$ による階段状の変化が生じます。
曲げモーメント図（BMD）
任意の位置 $x$ での曲げモーメントを求めます（下側引張を正とする）。
区間1（$0 \le x \le l/2$）:
$$M(x) = -J_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{A}} x = -\frac{3Pl}{16} + \frac{11Px}{16}$$- $x = 0$（固定端A）: $M = -\dfrac{3Pl}{16}$（ホギング）
- $x = l/2$（中央C）: $M = -\dfrac{3Pl}{16} + \dfrac{11Pl}{32} = \dfrac{5Pl}{32}$（サギング）
区間2（$l/2 \le x \le l$）:
$$M(x) = -J_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{A}} x - P\!\left(x - \frac{l}{2}\right) = \frac{5P(l - x)}{16}$$- $x = l/2$: $M = \dfrac{5Pl}{32}$
- $x = l$（ローラーB）: $M = 0$
ゼロ点は $x = 3l/11$ です。
ポイント
- この梁は1次不静定であり、釣り合い条件だけでは反力が求まりません。変形の適合条件（ローラー点のたわみ＝0）が必要です。
- 重ね合わせ法では、ローラー反力 $R_{\mathrm{B}}$ を冗長力として取り除き、片持ち梁に分解して考えます。
- 片持ち梁の基本たわみ公式 $\delta = \frac{Pa^2(3l-a)}{6EI}$ と $\delta = \frac{Rl^3}{3EI}$ を使い分けることが重要です。
- 固定端のモーメントは $3Pl/16$（ホギング）、中央の最大正モーメントは $5Pl/32$（サギング）となります。
- BMDのゼロ点（反曲点）の位置 $x = 3l/11$ は、梁の設計で重要です。