問題
長さ $l$ の梁において、左端Aを固定端、右端Bをローラー支持とし、中央C（$x = l/2$）に時計回りのモーメント $M_0$ が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。
外力としてモーメントのみが作用し、集中荷重や分布荷重はありません。この梁は1次不静定構造です。
固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。
- 反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
- 固定端モーメント $J_{\mathrm{A}}$
解答
解法の方針（重ね合わせ法）
ローラー支持Bの反力 $R_{\mathrm{B}}$ を冗長力とし、Bの拘束を解除して片持ち梁（固定端A、自由端B）に分解します。
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系(1): 外力のみ
片持ち梁の $x = l/2$ にモーメント $M_0$（時計回り）が作用。自由端B（$x = l$）でのたわみを求めます。
片持ち梁で $x = a$ にモーメント $M_0$ が作用する場合、自由端でのたわみは:
$$\delta_{M_0} = \frac{M_0 a(2l - a)}{2EI}$$$a = l/2$ を代入:
$$\delta_{M_0} = \frac{M_0 \cdot \frac{l}{2} \cdot \left(2l - \frac{l}{2}\right)}{2EI} = \frac{M_0 \cdot \frac{l}{2} \cdot \frac{3l}{2}}{2EI} = \frac{3M_0 l^2}{8EI}$$ -
系(2): 冗長力のみ
片持ち梁のBに上向き力 $R_{\mathrm{B}}$ が作用。自由端Bでのたわみ（上向き）:
$$\delta_R = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$ -
適合条件
元の構造ではBのたわみがゼロなので:
$$\delta_{M_0} = \delta_R \quad \Rightarrow \quad \frac{3M_0 l^2}{8EI} = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$
反力の算出
適合条件から冗長力を求めます。
$$R_{\mathrm{B}} = \frac{9M_0}{8l} \quad \text{（上向き）}$$鉛直方向の力の釣り合いから（外力に鉛直力はないので）:
$$R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{A}} = -\frac{9M_0}{8l} \quad \text{（下向き）}$$A点まわりのモーメントの釣り合いから反偶力（反時計回りを正）:
$$J_{\mathrm{A}} + M_0 - R_{\mathrm{B}} \cdot l = 0 \quad \Rightarrow \quad J_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}} l - M_0 = \frac{9M_0}{8} - M_0 = \frac{M_0}{8}$$反力のまとめ
$$R_{\mathrm{A}} = -\frac{9M_0}{8l}\text{（下向き）}, \quad R_{\mathrm{B}} = \frac{9M_0}{8l}\text{（上向き）}, \quad J_{\mathrm{A}} = \frac{M_0}{8}$$解答まとめ
一端固定・他端ローラー支持梁・中央モーメント荷重の公式
$$R_{\mathrm{A}} = -\frac{9M_0}{8l}, \quad R_{\mathrm{B}} = \frac{9M_0}{8l}, \quad J_{\mathrm{A}} = \frac{M_0}{8}$$補足：せん断力図・曲げモーメント図
せん断力図（SFD）
外力に鉛直方向の集中荷重がないため、せん断力は梁全体で一定です。
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} = -\frac{9M_0}{8l} \quad \text{（一定、下向き）}$$せん断力は負の一定値で、梁全体にわたって均一です。モーメント荷重のみが作用する場合の特徴です。
曲げモーメント図（BMD）
任意の位置 $x$ での曲げモーメントを区間ごとに求めます。
区間1（$0 \le x < l/2$）: $M_0$ 作用点の左側
$$M(x) = J_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{A}} x = \frac{M_0}{8} - \frac{9M_0}{8l}x$$- $x = 0$（固定端A）: $M = \dfrac{M_0}{8}$
- $x = l/2^{-}$（Cの直前）: $M = \dfrac{M_0}{8} - \dfrac{9M_0}{16} = -\dfrac{7M_0}{16}$
区間2（$l/2 \le x \le l$）: $M_0$ 作用点の右側（$M_0$ が加わる）
$$M(x) = J_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{A}} x + M_0 = \frac{9M_0}{8} - \frac{9M_0}{8l}x$$- $x = l/2^{+}$（Cの直後）: $M = \dfrac{9M_0}{8} - \dfrac{9M_0}{16} = \dfrac{9M_0}{16}$
- $x = l$（ローラーB）: $M = \dfrac{9M_0}{8} - \dfrac{9M_0}{8} = 0$ ✓
中央Cでモーメント $M_0$ による不連続（ジャンプ）が生じます:
$$\frac{9M_0}{16} - \left(-\frac{7M_0}{16}\right) = \frac{16M_0}{16} = M_0 \quad \checkmark$$ポイント
- モーメント荷重のみが作用するため、外力に鉛直成分がなく、$R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = 0$（対の力）となります。
- せん断力は梁全体で一定値 $-9M_0/(8l)$ となり、SFDは水平線です。
- BMDはモーメント作用点Cで $M_0$ だけ不連続（ジャンプ）します。これはモーメント荷重の特徴です。
- 片持ち梁の「距離 $a$ にモーメントが作用する場合の自由端たわみ」$\delta = \frac{M_0 a(2l-a)}{2EI}$ は必須公式です。
- B点で $M = 0$（ローラー支持＝モーメント反力なし）の検算を忘れないようにしましょう。