一端固定・他端ローラー支持梁のモーメント荷重（右端）

問題

長さ $l$ の梁において、左端Aを固定端、右端Bをローラー支持とし、ローラー端Bに時計回りのモーメント $M_0$ が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。

ローラー支持は鉛直反力のみ提供し、モーメント反力は発生しません。この梁は1次不静定構造です。

固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。

1. 反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
2. 固定端モーメント $J_{\mathrm{A}}$

解答

解法の方針（重ね合わせ法）

ローラー支持Bの反力 $R_{\mathrm{B}}$ を冗長力とし、Bの拘束を解除して片持ち梁（固定端A、自由端B）に分解します。

• 系(1): 外力のみ

  片持ち梁の自由端B（$x = l$）にモーメント $M_0$（時計回り）が作用。自由端Bでのたわみ（下向き）:

  $$\delta_{M_0} = \frac{M_0 l^2}{2EI}$$
• 系(2): 冗長力のみ

  片持ち梁のBに上向き力 $R_{\mathrm{B}}$ が作用。自由端Bでのたわみ（上向き）:

  $$\delta_R = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$
• 適合条件

  元の構造ではBのたわみがゼロなので:

  $$\delta_{M_0} = \delta_R \quad \Rightarrow \quad \frac{M_0 l^2}{2EI} = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$

反力の算出

適合条件から冗長力を求めます。

$$R_{\mathrm{B}} = \frac{3M_0}{2l} \quad \text{（上向き）}$$

鉛直方向の力の釣り合いから（外力に鉛直力はないので）:

$$R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{A}} = -\frac{3M_0}{2l} \quad \text{（下向き）}$$

A点まわりのモーメントの釣り合いから反偶力（反時計回りを正）:

$$J_{\mathrm{A}} + M_0 - R_{\mathrm{B}} \cdot l = 0 \quad \Rightarrow \quad J_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}} l - M_0 = \frac{3M_0}{2} - M_0 = \frac{M_0}{2}$$

解答まとめ

補足：せん断力図・曲げモーメント図

せん断力図（SFD）

外力に鉛直方向の集中荷重がないため、せん断力は梁全体で一定です。

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} = -\frac{3M_0}{2l} \quad \text{（一定、下向き）}$$

曲げモーメント図（BMD）

任意の位置 $x$ での曲げモーメントを求めます。モーメント荷重はB点に作用しているため、梁内部（$0 \le x < l$）では:

$$M(x) = J_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{A}} x = \frac{M_0}{2} - \frac{3M_0}{2l}x$$

• $x = 0$（固定端A）: $M = \dfrac{M_0}{2}$
• $x = l/3$（ゼロ点）: $M = \dfrac{M_0}{2} - \dfrac{M_0}{2} = 0$
• $x = l^{-}$（Bの直前）: $M = \dfrac{M_0}{2} - \dfrac{3M_0}{2} = -M_0$

B点では外部モーメント $M_0$ が作用しているため、内部モーメント $-M_0$ と外部モーメント $M_0$ が釣り合い、梁端としての条件（ローラー＝モーメント反力なし）を満たします。

ポイント

• モーメント荷重のみが作用するため、$R_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{B}} = 0$（対の力）となります。
• せん断力は梁全体で一定値 $-3M_0/(2l)$ です。BMDは線形（直線）です。
• 片持ち梁の「自由端にモーメントが作用する場合の自由端たわみ」$\delta = \frac{M_0 l^2}{2EI}$ は基本公式です。
• B点（ローラー端）の内部モーメントは $-M_0$ であり、0ではありません。外部モーメント $M_0$ との釣り合いで梁端の条件が満たされます。
• BMDのゼロ点（反曲点）は $x = l/3$ に位置します。