一端固定・他端ローラー支持梁の等分布荷重

固定端Aとローラー支持Bを持つ1次不静定梁の全長に等分布荷重 $q$ が作用する場合の反力・せん断力・曲げモーメントを重ね合わせ法で求めます。

問題

長さ $l$ の梁において、左端Aを固定端、右端Bをローラー支持とし、全長にわたって等分布荷重 $q$（単位長さあたり）が下向きに作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。

この梁は反力が3つ（$R_{\mathrm{A}}$, $J_{\mathrm{A}}$, $R_{\mathrm{B}}$）あるのに対し、釣り合い条件は2つしかないため、1次不静定構造です。

図1: 一端固定・他端ローラー支持梁・等分布荷重

固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。

ローラー支持Bの反力 $R_{\mathrm{B}}$ を冗長力とし、Bの拘束を解除して片持ち梁（固定端A、自由端B）に分解します。

系(1): 外力のみ
片持ち梁に等分布荷重 $q$ が作用。自由端Bでのたわみ（下向き）:
$$\delta_q = \frac{ql^4}{8EI}$$
系(2): 冗長力のみ
片持ち梁のBに上向き力 $R_{\mathrm{B}}$ が作用。自由端Bでのたわみ（上向き）:
$$\delta_R = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$
適合条件
元の構造ではBのたわみがゼロなので:
$$\delta_q = \delta_R \quad \Rightarrow \quad \frac{ql^4}{8EI} = \frac{R_{\mathrm{B}} l^3}{3EI}$$

適合条件から冗長力を求めます。

$$R_{\mathrm{B}} = \frac{3ql}{8}$$

鉛直方向の力の釣り合いから:

$$R_{\mathrm{A}} = ql - R_{\mathrm{B}} = ql - \frac{3ql}{8} = \frac{5ql}{8}$$

A点まわりのモーメントの釣り合いから反偶力（反時計回りを正）:

$$J_{\mathrm{A}} = \frac{ql^2}{2} - R_{\mathrm{B}} \cdot l = \frac{ql^2}{2} - \frac{3ql^2}{8} = \frac{ql^2}{8}$$

$$R_{\mathrm{A}} = \frac{5ql}{8}, \quad R_{\mathrm{B}} = \frac{3ql}{8}, \quad J_{\mathrm{A}} = \frac{ql^2}{8}$$

$$R_{\mathrm{A}} = \frac{5ql}{8}, \quad R_{\mathrm{B}} = \frac{3ql}{8}, \quad J_{\mathrm{A}} = \frac{ql^2}{8}$$

固定端Aから右方向に $x$ 軸を取り、任意断面でのせん断力を求めます。

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - qx = \frac{5ql}{8} - qx$$

図2: せん断力図

任意の位置 $x$ での曲げモーメントを求めます（下側引張を正とする）。

$$M(x) = -J_{\mathrm{A}} + R_{\mathrm{A}} x - \frac{qx^2}{2} = -\frac{ql^2}{8} + \frac{5qlx}{8} - \frac{qx^2}{2}$$

$x = 0$（固定端A）: $M = -\dfrac{ql^2}{8}$（ホギング）
$x = l$（ローラーB）: $M = -\dfrac{ql^2}{8} + \dfrac{5ql^2}{8} - \dfrac{ql^2}{2} = 0$ ✓
最大正モーメントの位置: $\dfrac{dM}{dx} = V(x) = 0$ より $x = \dfrac{5l}{8}$
$x = 5l/8$: $M = -\dfrac{ql^2}{8} + \dfrac{5ql}{8} \cdot \dfrac{5l}{8} - \dfrac{q}{2}\!\left(\dfrac{5l}{8}\right)^2 = \dfrac{9ql^2}{128}$

図3: 曲げモーメント図