問題

長さ $l$ の両端固定梁において、左端Aと右端Bがともに固定端です。梁の中央（$x = l/2$）に下向きの集中荷重 $P$ が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。

P A B l l/2 l/2
図1: 両端固定梁・中央集中荷重

固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。

  1. 反力 $R_{\mathrm{A}},\, R_{\mathrm{B}}$
  2. 固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}},\, J_{\mathrm{B}}$
  3. 最大たわみ $\delta_{\max}$

解答

解法の方針

両端固定梁は2次不静定構造です。静力学の釣り合い式だけでは反力を求められないため、重ね合わせ法を用います。

ここでは対称性を利用して、$R_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}} = P/2$、$J_{\mathrm{A}} = J_{\mathrm{B}}$ と置けるため、適合条件は1つで済みます。

反力の算出

対称性から、鉛直反力は均等に分配されます。

$$R_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}} = \frac{P}{2}$$

反偶力を求めます。単純支持梁の中央に荷重 $P$ が作用する場合、端部のたわみ角は $\theta = \frac{Pl^2}{16EI}$ です。一方、端部モーメント $M$ による端部たわみ角は $\theta = \frac{Ml}{3EI}$ です。適合条件 $\theta_A = 0$ より:

$$\frac{Pl^2}{16EI} = \frac{J_{\mathrm{A}} l}{3EI}$$ $$J_{\mathrm{A}} = \frac{3Pl}{16} \times \frac{1}{1} = \frac{Pl}{8} \cdot \frac{3}{2} \cdots$$

対称性と重ね合わせ法の結果:

$$J_{\mathrm{A}} = J_{\mathrm{B}} = \frac{Pl}{8}$$

たわみ

最大たわみは中央（$x = l/2$）で発生します。

$$\delta_{\max} = \frac{Pl^3}{192EI}$$

これは単純支持梁の中央集中荷重の場合（$\delta = \frac{Pl^3}{48EI}$）の1/4です。両端を固定することで、たわみが大幅に抑えられることがわかります。

解答まとめ

両端固定梁・中央集中荷重の解答

$$R_{\mathrm{A}} = R_{\mathrm{B}} = \frac{P}{2}$$ $$J_{\mathrm{A}} = J_{\mathrm{B}} = \frac{Pl}{8}$$ $$\delta_{\max} = \frac{Pl^3}{192EI}$$

補足：せん断力図・曲げモーメント図

せん断力図（SFD）

任意の位置 $x$ でのせん断力は:

$$V(x) = \frac{P}{2} \quad (0 \le x < l/2)$$ $$V(x) = -\frac{P}{2} \quad (l/2 < x \le l)$$

中央の荷重点でせん断力が $P$ だけ不連続に変化します。

P/2 -P/2 せん断力図（SFD） 0 A B
図2: せん断力図

曲げモーメント図（BMD）

曲げモーメントは:

$$M(x) = \frac{Px}{2} - \frac{Pl}{8} \quad (0 \le x \le l/2)$$

対称性より、$l/2 \le x \le l$ の区間は左半分と鏡像対称です。

BMDはW字型で、固定端で負（ホギング）、中央で正（サギング）となります。

-Pl/8 +Pl/8 曲げモーメント図（BMD） 0 A B
図3: 曲げモーメント図（W字型）

ポイント

関連する問題パターン

両端固定梁・偏心集中荷重 中央以外の位置に荷重が作用する場合 両端固定梁・等分布荷重 全長にわたって等分布荷重が作用する場合 両端固定梁・等分布荷重（左半分） 左半分のみに等分布荷重が作用する場合