問題
長さ $l$ の片持ち梁において、左端Aを固定端、右端Bを自由端とします。三角分布荷重が作用し、固定端A（$x = 0$）で強度 $q$（最大）、自由端B（$x = l$）でゼロに線形に変化しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。
分布荷重の強度は以下の通りです。
$$w(x) = \frac{q(l - x)}{l}$$固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。
- 反力 $R_{\mathrm{A}}$ と固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}}$
- 自由端のたわみ $\delta_{\max}$
解答
分布荷重の合力を求めます。全荷重の大きさは:
$$\int_0^l w(x)\,dx = \int_0^l \frac{q(l-x)}{l}\,dx = \frac{q}{l} \cdot \frac{l^2}{2} = \frac{ql}{2}$$この合力の作用点（重心位置）は、$x = 0$ 側に集中しているため固定端から $l/3$ の位置です:
$$\bar{x} = \frac{\int_0^l x \cdot w(x)\,dx}{\int_0^l w(x)\,dx} = \frac{\int_0^l x \cdot \frac{q(l-x)}{l}\,dx}{\frac{ql}{2}} = \frac{\frac{ql^2}{6}}{\frac{ql}{2}} = \frac{l}{3}$$反力の算出
固定端Aには鉛直反力 $R_{\mathrm{A}}$ と反偶力 $J_{\mathrm{A}}$ が発生します。
- 鉛直方向の力の釣り合い $$R_{\mathrm{A}} - \frac{ql}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{A}} = \frac{ql}{2}$$
-
A点まわりのモーメントの釣り合い
反時計回りを正とします。合力 $\frac{ql}{2}$ が $x = \frac{l}{3}$ に作用するので:
$$J_{\mathrm{A}} - \frac{ql}{2} \cdot \frac{l}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad J_{\mathrm{A}} = \frac{ql^2}{6}$$
たわみとたわみ角
たわみの微分方程式 $EI\,y'' = M(x)$ を解きます。境界条件は固定端（$x = 0$）でたわみ $y = 0$、たわみ角 $y' = 0$ です。
微分方程式の積分
$$EI\,y'' = \frac{q(l-x)^3}{6l}$$1回積分してたわみ角を求めます。$(l-x)^3$ を積分すると $-\dfrac{(l-x)^4}{4}$ になることに注意:
$$EI\,y' = \frac{q}{6l} \cdot \left(-\frac{(l-x)^4}{4}\right) + C_1 = -\frac{q(l-x)^4}{24l} + C_1$$境界条件 $y'(0) = 0$ より:
$$0 = -\frac{q \cdot l^4}{24l} + C_1 = -\frac{ql^3}{24} + C_1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = \frac{ql^3}{24}$$よって:
$$EI\,y' = -\frac{q(l-x)^4}{24l} + \frac{ql^3}{24}$$もう1回積分してたわみを求めます:
$$EI\,y = \frac{q}{24l} \cdot \frac{(l-x)^5}{5} + \frac{ql^3 x}{24} + C_2 = \frac{q(l-x)^5}{120l} + \frac{ql^3 x}{24} + C_2$$境界条件 $y(0) = 0$ より:
$$0 = \frac{q \cdot l^5}{120l} + 0 + C_2 = \frac{ql^4}{120} + C_2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = -\frac{ql^4}{120}$$結果
たわみ:
$$y(x) = \frac{q}{EI}\left[\frac{(l-x)^5}{120l} + \frac{l^3 x}{24} - \frac{l^4}{120}\right]$$たわみ角:
$$\theta(x) = y'(x) = \frac{q}{EI}\left[\frac{l^3}{24} - \frac{(l-x)^4}{24l}\right]$$最大たわみ（自由端 $x = l$）:
$$\delta_{\max} = y(l) = \frac{q}{EI}\left[0 + \frac{l^4}{24} - \frac{l^4}{120}\right] = \frac{q}{EI} \cdot \frac{5l^4 - l^4}{120} = \frac{ql^4}{30EI}$$最大たわみ角（自由端 $x = l$）:
$$\theta_{\max} = \theta(l) = \frac{q}{EI}\left[\frac{l^3}{24} - 0\right] = \frac{ql^3}{24EI}$$解答まとめ
片持ち梁・三角分布荷重（固定端最大 $q$、自由端ゼロ）の解答
$$R_{\mathrm{A}} = \frac{ql}{2}, \qquad J_{\mathrm{A}} = \frac{ql^2}{6}$$ $$\delta_{\max} = \frac{ql^4}{30EI}, \qquad \theta_{\max} = \frac{ql^3}{24EI}$$補足：せん断力図・曲げモーメント図
せん断力図（SFD）
任意の位置 $x$（$0 \le x \le l$）で梁を切断し、左側の釣り合いを考えます。$0$ から $x$ までの分布荷重の合力は:
$$\int_0^x w(t)\,dt = \int_0^x \frac{q(l-t)}{l}\,dt = \frac{q}{l}\left[lt - \frac{t^2}{2}\right]_0^x = \frac{q}{l}\left(lx - \frac{x^2}{2}\right)$$よって:
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - \int_0^x w(t)\,dt = \frac{ql}{2} - \frac{q}{l}\left(lx - \frac{x^2}{2}\right)$$整理すると:
$$\boxed{V(x) = \frac{q(l-x)^2}{2l}}$$- $x = 0$（固定端A）: $V = \dfrac{ql}{2}$（最大）
- $x = l$（自由端B）: $V = 0$
- 形状: 下に凸の放物線（2乗関数）
曲げモーメント図（BMD）
せん断力を積分してモーメントを求めます。任意の位置 $x$ での曲げモーメントは:
$$M(x) = J_{\mathrm{A}} - R_{\mathrm{A}} \cdot x + \int_0^x \frac{q(l-t)}{l}\cdot (x-t)\,dt$$あるいは、切断断面の右側から考えると:
$$M(x) = -\int_x^l w(t)(t-x)\,dt = -\int_x^l \frac{q(l-t)}{l}(t-x)\,dt$$計算を整理すると:
$$\boxed{M(x) = \frac{q(l-x)^3}{6l}}$$- $x = 0$（固定端A）: $M = \dfrac{ql^2}{6}$（最大）
- $x = l$（自由端B）: $M = 0$
- 形状: 3乗曲線（自由端付近で急激に減少）
ポイント
- $(l-x)$ の累乗が1段ずつ上がる構造に注目。$w(x)$ は $(l-x)$ の1乗、$V(x)$ は2乗、$M(x)$ は3乗、$y(x)$ は5乗で表されます。これは微分方程式を順次積分していくことで自然に生まれる構造です。
- 等分布荷重（全長一様）の場合と比較すると、最大たわみは $\dfrac{ql^4}{8EI}$ に対して $\dfrac{ql^4}{30EI}$ と小さくなります。荷重が固定端側に集中しているほどたわみが抑えられます。
- 固定端の反偶力 $J_{\mathrm{A}} = \dfrac{ql^2}{6}$ は、等分布荷重の $\dfrac{ql^2}{2}$ より小さい。荷重合力が $x = l/3$ に集中していることと対応します。
- たわみの微分方程式の積分では、$(l-x)^n$ の積分が $-\dfrac{(l-x)^{n+1}}{n+1}$ になることを忘れないこと（符号に注意）。