片持ち梁の集中荷重（中央）

固定端Aと自由端Bを持つ片持ち梁の中央（$x = l/2$）に集中荷重 $P$ が作用する場合の反力・せん断力・曲げモーメント・たわみを求めます。

問題

長さ $l$ の片持ち梁において、左端Aを固定端、右端Bを自由端とします。中央点（$x = l/2$）に下向きの集中荷重 $P$ が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。

図1: 片持ち梁・中央集中荷重

固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。

反力 $R_{\mathrm{A}}$ と固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}}$
自由端のたわみ $\delta_{\max}$

解答

反力の算出

固定端Aには鉛直反力 $R_{\mathrm{A}}$ と反偶力 $J_{\mathrm{A}}$ が発生します。力の釣り合いとモーメントの釣り合いから求めます。

鉛直方向の力の釣り合い $$R_{\mathrm{A}} - P = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{A}} = P$$
A点まわりのモーメントの釣り合い
反時計回りを正とします。荷重 $P$ は $x = l/2$ に作用するため:
$$J_{\mathrm{A}} - P \cdot \frac{l}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad J_{\mathrm{A}} = \frac{Pl}{2}$$

自由端荷重の場合と比べ、固定端のモーメントが半分になることに注目してください。

たわみとたわみ角

荷重作用点 $x = l/2$ を境に式が変わります。それぞれの区間でたわみの微分方程式 $EI\,y'' = M(x)$ を解き、境界条件と連続条件で積分定数を決定します。

区間1: $0 \le x \le l/2$

$$EI\,y'' = P\!\left(\frac{l}{2} - x\right)$$

1回積分してたわみ角:

$$EI\,y' = P\!\left(\frac{lx}{2} - \frac{x^2}{2}\right) + C_1$$

境界条件 $y'(0) = 0$（固定端でたわみ角ゼロ）より $C_1 = 0$。

$$EI\,y' = P\!\left(\frac{lx}{2} - \frac{x^2}{2}\right)$$

もう1回積分してたわみ:

$$EI\,y = P\!\left(\frac{lx^2}{4} - \frac{x^3}{6}\right) + C_2$$

境界条件 $y(0) = 0$（固定端でたわみゼロ）より $C_2 = 0$。

$$\boxed{y_1(x) = \frac{P}{EI}\!\left(\frac{lx^2}{4} - \frac{x^3}{6}\right)} \quad \left(0 \le x \le \frac{l}{2}\right)$$

区間2: $l/2 < x \le l$

$$EI\,y'' = 0$$

1回積分:

$$EI\,y' = C_3$$

もう1回積分:

$$EI\,y = C_3 x + C_4$$

連続条件による積分定数の決定

$x = l/2$ でたわみ角と変位が連続であることを使います。

たわみ角の連続条件（$y_1'(l/2) = y_2'(l/2)$）:

$$EI\,y_1'\!\left(\frac{l}{2}\right) = P\!\left(\frac{l \cdot l/2}{2} - \frac{(l/2)^2}{2}\right) = P\!\left(\frac{l^2}{4} - \frac{l^2}{8}\right) = \frac{Pl^2}{8}$$ $$\therefore\; C_3 = \frac{Pl^2}{8}$$

たわみの連続条件（$y_1(l/2) = y_2(l/2)$）:

$$EI\,y_1\!\left(\frac{l}{2}\right) = P\!\left(\frac{l \cdot (l/2)^2}{4} - \frac{(l/2)^3}{6}\right) = P\!\left(\frac{l^3}{16} - \frac{l^3}{48}\right) = \frac{Pl^3}{24}$$ $$EI\,y_2\!\left(\frac{l}{2}\right) = C_3 \cdot \frac{l}{2} + C_4 = \frac{Pl^2}{8} \cdot \frac{l}{2} + C_4 = \frac{Pl^3}{16} + C_4$$ $$\frac{Pl^3}{24} = \frac{Pl^3}{16} + C_4 \quad \Rightarrow \quad C_4 = \frac{Pl^3}{24} - \frac{Pl^3}{16} = -\frac{Pl^3}{48}$$

よって区間2のたわみ:

$$\boxed{y_2(x) = \frac{P}{EI}\!\left(\frac{l^2 x}{8} - \frac{l^3}{48}\right)} \quad \left(\frac{l}{2} < x \le l\right)$$

最大たわみとたわみ角

自由端（$x = l$）のたわみ（最大たわみ）:

$$\delta_{\max} = y_2(l) = \frac{P}{EI}\!\left(\frac{l^3}{8} - \frac{l^3}{48}\right) = \frac{P}{EI} \cdot \frac{6l^3 - l^3}{48} = \frac{5Pl^3}{48EI}$$

最大たわみ角（区間2では $y' = C_3/EI = Pl^2/(8EI)$ で一定）:

$$\theta_{\max} = \frac{Pl^2}{8EI}$$

このたわみ角は $x = l/2$ 以降の梁全体で一定値をとります。右半分は曲げモーメントがゼロなので、梁は直線状に傾いているだけです。

荷重作用点（$x = l/2$）のたわみ:

$$y\!\left(\frac{l}{2}\right) = \frac{Pl^3}{24EI}$$

解答まとめ

片持ち梁・中央集中荷重の解答

$$R_{\mathrm{A}} = P, \qquad J_{\mathrm{A}} = \frac{Pl}{2}$$ $$\delta_{\max} = \frac{5Pl^3}{48EI}, \qquad \theta_{\max} = \frac{Pl^2}{8EI}$$

補足：せん断力図・曲げモーメント図

せん断力図（SFD）

任意の位置 $x$ で梁を切断し、左側の釣り合いを考えます。

$0 \le x \le l/2$（荷重作用点より左側）:

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} = P$$

$l/2 < x \le l$（荷重作用点より右側）:

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - P = P - P = 0$$

荷重作用点 $x = l/2$ でせん断力が $P$ から $0$ に急変します。右半分はせん断力ゼロです。

図2: せん断力図

曲げモーメント図（BMD）

任意の位置 $x$ での曲げモーメントを求めます。