問題
長さ $l$ の片持ち梁において、左端Aを固定端、右端Bを自由端とします。自由端Bに下向きの集中荷重 $P$ が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。
固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。
- 反力 $R_{\mathrm{A}}$ と固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}}$
- 自由端のたわみ $\delta_{\max}$
解答
反力の算出
固定端Aには鉛直反力 $R_{\mathrm{A}}$ と反偶力 $J_{\mathrm{A}}$ が発生します。力の釣り合いとモーメントの釣り合いから求めます。
- 鉛直方向の力の釣り合い $$R_{\mathrm{A}} - P = 0 \quad \Rightarrow \quad R_{\mathrm{A}} = P$$
-
A点まわりのモーメントの釣り合い
反時計回りを正とします。
$$J_{\mathrm{A}} - P \cdot l = 0 \quad \Rightarrow \quad J_{\mathrm{A}} = Pl$$
たわみとたわみ角
たわみの微分方程式 $EI\,y'' = M(x)$ を解きます。境界条件は固定端（$x = 0$）でたわみ $y = 0$、たわみ角 $y' = 0$ です。
微分方程式の解
$$EI\,y'' = P(l - x)$$1回積分してたわみ角:
$$EI\,y' = P\left(lx - \frac{x^2}{2}\right) + C_1$$境界条件 $y'(0) = 0$ より $C_1 = 0$。
$$EI\,y' = P\left(lx - \frac{x^2}{2}\right)$$もう1回積分してたわみ:
$$EI\,y = P\left(\frac{lx^2}{2} - \frac{x^3}{6}\right) + C_2$$境界条件 $y(0) = 0$ より $C_2 = 0$。
結果
たわみ:
$$y(x) = \frac{Px^2}{6EI}(3l - x)$$たわみ角:
$$\theta(x) = y'(x) = \frac{Px}{2EI}(2l - x)$$最大たわみ（自由端 $x = l$）:
$$\delta_{\max} = y(l) = \frac{Pl^3}{3EI}$$最大たわみ角（自由端 $x = l$）:
$$\theta_{\max} = \theta(l) = \frac{Pl^2}{2EI}$$解答まとめ
片持ち梁・自由端集中荷重の解答
$$R_{\mathrm{A}} = P, \qquad J_{\mathrm{A}} = Pl$$ $$\delta_{\max} = \frac{Pl^3}{3EI}, \qquad \theta_{\max} = \frac{Pl^2}{2EI}$$補足：せん断力図・曲げモーメント図
せん断力図（SFD）
任意の位置 $x$（$0 \le x \le l$）で梁を切断し、左側の釣り合いを考えます。
$$V(x) = R_{\mathrm{A}} = P \quad (\text{一定})$$せん断力は梁全長にわたって $P$ で一定です。
曲げモーメント図（BMD）
任意の位置 $x$ での曲げモーメントは:
$$M(x) = J_{\mathrm{A}} - R_{\mathrm{A}} \cdot x = Pl - Px = P(l - x)$$- $x = 0$（固定端A）: $M = Pl$（最大）
- $x = l$（自由端B）: $M = 0$
曲げモーメントは固定端で最大 $Pl$ となり、自由端に向かって線形に減少します。
ポイント
- 片持ち梁の集中荷重は、材料力学で最も基本的な問題のひとつ。まずこの形を確実に解けるようにしましょう。
- 固定端には鉛直反力と反偶力の2つの反力が発生します。
- せん断力は一定、曲げモーメントは線形 — これは集中荷重の特徴です。
- たわみの微分方程式では、境界条件の適用が積分定数を決めるカギになります。
- $\delta_{\max} = \frac{Pl^3}{3EI}$ は暗記すべき基本公式です。