問題
長さ $l$ の片持ち梁において、左端Aを固定端、右端Bを自由端とします。梁の中央C（$x = l/2$）に時計回りのモーメント $M_0$ が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。
固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。
- 反力 $R_{\mathrm{A}}$ と固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}}$
- 自由端のたわみ $\delta_{\max}$
解答
反力の算出
固定端Aには鉛直反力 $R_{\mathrm{A}}$ と反偶力 $J_{\mathrm{A}}$ が発生します。力の釣り合いとモーメントの釣り合いから求めます。
-
鉛直方向の力の釣り合い
外力に鉛直方向の力がないため:
$$R_{\mathrm{A}} = 0$$ -
A点まわりのモーメントの釣り合い
反時計回りを正とします。中央Cの時計回りモーメント $M_0$ に対して:
$$J_{\mathrm{A}} - M_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad J_{\mathrm{A}} = M_0$$
モーメントの作用位置が中央であっても自由端であっても、固定端の反モーメントは $M_0$ で同じです。ただし、たわみの式は異なります。
たわみとたわみ角
モーメント荷重の作用点で曲げモーメントが不連続なので、区間ごとにたわみの微分方程式を解きます。境界条件は固定端（$x = 0$）で $y = 0$, $y' = 0$、接続条件はC点（$x = l/2$）でたわみとたわみ角が連続です。
区間1: $0 \le x \le l/2$
$$EI\,y_1'' = M_0$$1回積分:
$$EI\,y_1' = M_0 x + C_1$$境界条件 $y_1'(0) = 0$ より $C_1 = 0$。
もう1回積分:
$$EI\,y_1 = \frac{M_0 x^2}{2} + C_2$$境界条件 $y_1(0) = 0$ より $C_2 = 0$。
区間1の結果:
$$y_1(x) = \frac{M_0 x^2}{2EI}, \qquad \theta_1(x) = \frac{M_0 x}{EI}$$区間2: $l/2 \le x \le l$
$$EI\,y_2'' = 0$$1回積分:
$$EI\,y_2' = C_3$$接続条件 $y_2'(l/2) = y_1'(l/2)$ より:
$$C_3 = M_0 \cdot \frac{l}{2} = \frac{M_0 l}{2}$$もう1回積分:
$$EI\,y_2 = \frac{M_0 l}{2}\,x + C_4$$接続条件 $y_2(l/2) = y_1(l/2)$ より:
$$\frac{M_0 l}{2} \cdot \frac{l}{2} + C_4 = \frac{M_0}{2} \cdot \frac{l^2}{4}$$ $$\frac{M_0 l^2}{4} + C_4 = \frac{M_0 l^2}{8} \quad \Rightarrow \quad C_4 = -\frac{M_0 l^2}{8}$$区間2の結果:
$$y_2(x) = \frac{M_0 l}{2EI}\left(x - \frac{l}{4}\right), \qquad \theta_2(x) = \frac{M_0 l}{2EI}$$最大たわみ・最大たわみ角
最大たわみ（自由端 $x = l$）:
$$\delta_{\max} = y_2(l) = \frac{M_0 l}{2EI}\left(l - \frac{l}{4}\right) = \frac{3M_0 l^2}{8EI}$$最大たわみ角（$x \ge l/2$ で一定）:
$$\theta_{\max} = \frac{M_0 l}{2EI}$$解答まとめ
片持ち梁・中央モーメント荷重の解答
$$R_{\mathrm{A}} = 0, \qquad J_{\mathrm{A}} = M_0$$ $$\delta_{\max} = \frac{3M_0 l^2}{8EI}, \qquad \theta_{\max} = \frac{M_0 l}{2EI}$$補足：せん断力図・曲げモーメント図
せん断力図（SFD）
鉛直方向の外力が存在しないため、梁のどの位置で切断してもせん断力はゼロです。
$$V(x) = 0 \quad (0 \le x \le l)$$曲げモーメント図（BMD）
曲げモーメントは、モーメント荷重の作用点C（$x = l/2$）で不連続に変化します。
区間1: $0 \le x \le l/2$（A〜C間）
固定端のモーメント $J_{\mathrm{A}} = M_0$ がそのまま伝わります。
$$M(x) = M_0$$区間2: $l/2 \le x \le l$（C〜B間）
点CでモーメントM₀が作用するため、C以降の曲げモーメントは打ち消されます。
$$M(x) = 0$$ポイント
- モーメントの作用点でBMDが不連続に変化するのがこの問題の最大の特徴です。集中モーメントがBMDにジャンプ（不連続変化）を与えることを理解しましょう。
- 区間ごとに微分方程式を立て、接続条件（たわみとたわみ角の連続性）で積分定数を決めるという手順が重要です。
- 区間2ではBMDがゼロなので、たわみ曲線は直線（1次関数）になります。つまり区間2では梁は曲がらず、直線のまま傾いた状態です。
- 自由端モーメントの場合（$\delta = \frac{M_0 l^2}{2EI}$）と比較すると、中央モーメントの場合（$\delta = \frac{3M_0 l^2}{8EI}$）の方がたわみが小さくなります。これはモーメントの作用位置が固定端に近いほどたわみが小さくなることを意味します。
- 重ね合わせの原理を使う際、モーメントの作用位置による違いを正しく考慮する必要があります。