問題

長さ $l$ の片持ち梁において、左端Aを固定端、右端Bを自由端とします。右半分（$l/2 \le x \le l$、自由端側）に下向きの等分布荷重 $q$ が作用しています。梁の曲げ剛性は $EI$（一様）とします。

q A B l l/2
図1: 片持ち梁・右半分等分布荷重（自由端側）

固定端Aから右方向に $x$ 軸を取るとき、以下を求めてください。

  1. 反力 $R_{\mathrm{A}}$ と固定端モーメント（反偶力）$J_{\mathrm{A}}$
  2. 自由端のたわみ $\delta_{\max}$

解答

等分布荷重 $q$ が右半分に作用するので、合力は $ql/2$ となり、その作用点は $x = 3l/4$（右半分区間の中央）です。

反力の算出

固定端Aには鉛直反力 $R_{\mathrm{A}}$ と反偶力 $J_{\mathrm{A}}$ が発生します。

たわみとたわみ角

たわみの微分方程式 $EI\,y'' = M(x)$ を各区間で解きます。境界条件は固定端（$x = 0$）でたわみ $y = 0$、たわみ角 $y' = 0$ です。また、$x = l/2$ での連続条件（たわみと傾きが一致）を用います。

区間1（$0 \le x \le l/2$）の解

$$EI\,y'' = \frac{3ql^2}{8} - \frac{ql}{2}\,x$$

1回積分（境界条件 $y'(0)=0$ より積分定数 $=0$）:

$$EI\,y' = \frac{3ql^2}{8}\,x - \frac{ql}{4}\,x^2$$

もう1回積分（境界条件 $y(0)=0$ より積分定数 $=0$）:

$$EI\,y = \frac{3ql^2}{16}\,x^2 - \frac{ql}{12}\,x^3$$

$x = l/2$ での値（区間2の境界条件として使用）:

$$EI\,y\!\left(\frac{l}{2}\right) = \frac{3ql^2}{16}\cdot\frac{l^2}{4} - \frac{ql}{12}\cdot\frac{l^3}{8} = \frac{3ql^4}{64} - \frac{ql^4}{96} = \frac{7ql^4}{192}$$ $$EI\,y'\!\left(\frac{l}{2}\right) = \frac{3ql^2}{8}\cdot\frac{l}{2} - \frac{ql}{4}\cdot\frac{l^2}{4} = \frac{3ql^3}{16} - \frac{ql^3}{16} = \frac{ql^3}{8}$$

区間2（$l/2 \le x \le l$）の解

$$EI\,y'' = \frac{q(l-x)^2}{2}$$

1回積分（積分定数を $D_1$）:

$$EI\,y' = -\frac{q(l-x)^3}{6} + D_1$$

連続条件 $y'(l/2) = ql^3/(8EI)$ を適用:

$$\frac{ql^3}{8} = -\frac{q(l/2)^3}{6} + D_1 = -\frac{ql^3}{48} + D_1 \quad \Rightarrow \quad D_1 = \frac{ql^3}{8} + \frac{ql^3}{48} = \frac{7ql^3}{48}$$ $$EI\,y' = -\frac{q(l-x)^3}{6} + \frac{7ql^3}{48}$$

もう1回積分（積分定数を $D_2$）:

$$EI\,y = \frac{q(l-x)^4}{24} + \frac{7ql^3}{48}\,x + D_2$$

連続条件 $y(l/2) = 7ql^4/(192EI)$ を適用:

$$\frac{7ql^4}{192} = \frac{q(l/2)^4}{24} + \frac{7ql^3}{48}\cdot\frac{l}{2} + D_2 = \frac{ql^4}{384} + \frac{7ql^4}{96} + D_2$$ $$D_2 = \frac{7ql^4}{192} - \frac{ql^4}{384} - \frac{7ql^4}{96} = \frac{14ql^4}{384} - \frac{ql^4}{384} - \frac{28ql^4}{384} = -\frac{15ql^4}{384} = -\frac{5ql^4}{128}$$ $$EI\,y = \frac{q(l-x)^4}{24} + \frac{7ql^3 x}{48} - \frac{5ql^4}{128}$$

最大たわみ・最大たわみ角（自由端 $x = l$）

最大たわみ:

$$\delta_{\max} = y(l) = \frac{1}{EI}\!\left(0 + \frac{7ql^4}{48} - \frac{5ql^4}{128}\right) = \frac{1}{EI}\!\left(\frac{7 \times 128 - 5 \times 48}{48 \times 128}\,ql^4\right) = \frac{1}{EI}\cdot\frac{896 - 240}{6144}\,ql^4$$ $$\boxed{\delta_{\max} = \frac{41ql^4}{384EI}}$$

最大たわみ角:

$$\theta_{\max} = y'(l) = \frac{1}{EI}\!\left(0 + \frac{7ql^3}{48}\right) = \boxed{\frac{7ql^3}{48EI}}$$

解答まとめ

片持ち梁・右半分等分布荷重（自由端側）の解答

$$R_{\mathrm{A}} = \frac{ql}{2}, \qquad J_{\mathrm{A}} = \frac{3ql^2}{8}$$ $$\delta_{\max} = \frac{41ql^4}{384EI}, \qquad \theta_{\max} = \frac{7ql^3}{48EI}$$

補足：せん断力図・曲げモーメント図

せん断力図（SFD）

任意の位置 $x$ で梁を切断し、左側の釣り合いを考えます。区間によって式が変わります。

区間1（$0 \le x < l/2$）: 荷重なし

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} = \frac{ql}{2} \quad \text{（一定）}$$

区間2（$l/2 \le x \le l$）: 分布荷重が $x = l/2$ から $x$ まで作用

$$V(x) = R_{\mathrm{A}} - q\!\left(x - \frac{l}{2}\right) = \frac{ql}{2} - q\!\left(x - \frac{l}{2}\right) = q(l - x)$$

自由端Bでは $V(l) = 0$（自由端条件を満たす）。

ql/2 せん断力図（SFD） 0 A l/2 B
図2: せん断力図（SFD）

曲げモーメント図（BMD）

任意の位置 $x$ での曲げモーメントも区間ごとに異なります。

区間1（$0 \le x \le l/2$）:

$$M(x) = J_{\mathrm{A}} - R_{\mathrm{A}}\,x = \frac{3ql^2}{8} - \frac{ql}{2}\,x \quad \text{（線形）}$$

区間2（$l/2 \le x \le l$）: 左側の分布荷重部分も含めて考えます。

$$M(x) = J_{\mathrm{A}} - R_{\mathrm{A}}\,x + q\!\left(x - \frac{l}{2}\right)\!\cdot\!\frac{x - l/2}{2} = \frac{q(l-x)^2}{2} \quad \text{（2次曲線）}$$

主要点の確認:

3ql²/8 ql²/8 曲げモーメント図（BMD） 0 A l/2 B
図3: 曲げモーメント図（BMD）

ポイント

関連する問題パターン

片持ち梁・等分布荷重（左半分・固定端側） 固定端側の半分に等分布荷重が作用する場合 片持ち梁・等分布荷重（全長） 全長にわたって等分布荷重が作用する場合 片持ち梁・集中荷重（自由端） 自由端に集中荷重が作用する場合 片持ち梁・三角形分布荷重（逆三角形） 固定端ゼロ・自由端最大の三角形荷重が作用する場合